重积分

二重积分的定义

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D\subset \mathbb{R}^2$ 上的有界函数，将区域 $D$ 任意划分成 $n$ 个小区域 $\Delta\sigma_i$，其面积也记为 $\Delta\sigma_i$。
在每个小区域 $\Delta\sigma_i$ 上任取点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式

$$ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i $$

若当 $\Delta\sigma_{max} \to 0$ 时，极限

$$ \lim_{\Delta\sigma_{max} \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i $$

存在，且与区域 $D$ 的划分方式以及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的选取方式无关，则称函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。
该极限称为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \lim_{\Delta\sigma_{max} \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i $$

其中：

• $f(x,y)$ 为被积函数
• $f(x,y)\,d\sigma$ 为积分表达式
• $D$ 为积分区域
• $d\sigma$ 为面积元素
• $x,y$ 为积分变量
• $\Delta\sigma_{max}$ 为各小区域中面积最大者

需注意：

1. 有界闭区域 $D$ 的划分以及区域内点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法是任意的。
2. 极限值与 $D$ 的划分方式和点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关。

几何意义
当 $f(x,y)\ge 0$ 时，

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma $$

表示以区域 $D$ 为底、以 $f(x,y)$ 为高的曲顶柱体体积。

可积的充分条件

1. 有界闭区域上的连续函数必可积。
2. 有界闭区域上的分片连续函数必可积。

三重积分的定义

设 $f(x,y,z)$ 是有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数，将 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta\Omega_i$，其体积为 $\Delta v_i$。
在每个小区域 $\Delta\Omega_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式

$$ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i $$

若当 $\Delta\Omega_{max} \to 0$ 时，极限

$$ \lim_{\Delta\Omega_{max} \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i $$

存在，且与区域 $\Omega$ 的划分方式以及点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 的选取方式无关，则称该极限为函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \lim_{\Delta\Omega_{max} \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i $$

其中：

• $\Omega$ 为积分区域
• $f(x,y,z)$ 为被积函数
• $dV$ 为体积元素
• $x,y,z$ 为积分变量
• $\Delta\Omega_{max}$ 为各小区域中体积最大者

质量公式
设空间物体占有区域 $\Omega$，其体密度函数为 $\mu(x,y,z)$，且 $\mu(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则该物体的质量为

$$ M=\iiint_\Omega \mu(x,y,z)\,dV $$

重积分的性质

以下以二重积分为例，设 $f,g$ 在闭区域 $D$ 上均可积。

线性性质

若 $a,b$ 为常数，则

$$ \iint_D [af(x,y)+bg(x,y)]\,d\sigma = a\iint_D f(x,y)\,d\sigma + b\iint_D g(x,y)\,d\sigma $$

对积分区域的可加性

若区域 $D$ 被划分为两个区域 $D_1,D_2$，且二者至多只有公共边界点，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma + \iint_{D_2} f(x,y)\,d\sigma $$

积分不等式

若对任意 $(x,y)\in D$，有 $f(x,y)\ge 0$，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma\ge 0 $$

若对任意 $(x,y)\in D$，有 $f(x,y)\le g(x,y)$，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma \le \iint_D g(x,y)\,d\sigma $$

绝对可积性

若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，则 $|f(x,y)|$ 在 $D$ 上也可积，且

$$ \left| \iint_D f(x,y)\,d\sigma \right| \le \iint_D |f(x,y)|\,d\sigma $$

估值定理

设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上存在最大值 $M$ 与最小值 $m$，区域 $D$ 的面积为 $A$，则

$$ mA \le \iint_D f(x,y)\,d\sigma \le MA $$

积分中值定理

若 $f,g$ 均在 $D$ 上连续，且 $g$ 在 $D$ 上不变号，则在 $D$ 内至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使

$$ \iint_D f(x,y)g(x,y)\,d\sigma = f(\xi,\eta) \iint_D g(x,y)\,d\sigma $$

特别地，当 $g(x,y)=1$ 时，存在一点 $(\xi,\eta)\in D$，使

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = f(\xi,\eta)A $$

其中 $A$ 为区域 $D$ 的面积。

以上性质可类似推广到三重积分。

直角坐标系下二重积分的计算

设区域 $D$ 位于直角坐标系中，将 $D$ 用平行于坐标轴的网线划分成小矩形，则面积元素为

$$ d\sigma=dxdy $$

因此二重积分可写为

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma=\iint_D f(x,y)\,dxdy $$

先对 $x$ 积分，后对 $y$ 积分
若区域 $D$ 可表示为

$$ D=\{(x,y)\mid \psi_1(y)\le x\le \psi_2(y),\ c\le y\le d\} $$

则固定 $y$，有截面面积

$$ A(y)=\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx $$

所以

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx\right]dy $$

也可记作

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx $$

先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分
若区域 $D$ 可表示为

$$ D=\{(x,y)\mid \varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x),\ a\le x\le b\} $$

则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx $$

也可记作

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy $$

积分区域类型

X 型区域

若

$$ D=\{(x,y)\mid \varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x),\ a\le x\le b\} $$

则称 $D$ 为 X 型区域。
特点：穿过区域内部且与 $y$ 轴平行的直线，与区域边界的交点不多于两个。

Y 型区域

若

$$ D=\{(x,y)\mid \psi_1(y)\le x\le \psi_2(y),\ c\le y\le d\} $$

则称 $D$ 为 Y 型区域。
特点：穿过区域内部且与 $x$ 轴平行的直线，与区域边界的交点不多于两个。

一般区域的处理

若积分区域既不是 X 型区域，也不是 Y 型区域，可将区域划分为若干部分，使每一部分都是 X 型区域或 Y 型区域。
再分别计算每一部分上的二重积分，最后利用积分区域的可加性相加。

化为二次积分的步骤

1. 画出积分区域 $D$ 的草图，根据区域形状和被积函数确定积分次序。
2. 用不等式组表示积分区域中点 $(x,y)$ 的取值范围。
3. 根据积分次序写出积分限，将二重积分化为二次积分。

利用极坐标计算二重积分

极坐标变换

平面直角坐标与极坐标的关系为

$$ x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta $$

其中

$$ \rho\ge 0 $$

极坐标下的面积元素为

$$ d\sigma=\rho\,d\rho\,d\theta $$

因此

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\rho\,d\theta $$

其中 $D'$ 是区域 $D$ 在极坐标下对应的区域。

面积元素的来源

在极坐标中，小区域近似为一个扇形小块，其面积近似为

$$ \Delta\sigma\approx \rho\,\Delta\rho\,\Delta\theta $$

因此取极限后有

$$ d\sigma=\rho\,d\rho\,d\theta $$

这里多出的因子 $\rho$ 来自极坐标变换的面积伸缩。

常见积分区域

先对 $\rho$ 积分，后对 $\theta$ 积分
若区域可表示为

$$ D'=\{(\rho,\theta)\mid \varphi_1(\theta)\le \rho\le \varphi_2(\theta),\ \alpha\le \theta\le \beta\} $$

则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_\alpha^\beta \left[ \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\rho \right]d\theta $$

也可写为

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\rho $$

先对 $\theta$ 积分，后对 $\rho$ 积分
若区域可表示为

$$ D'=\{(\rho,\theta)\mid \psi_1(\rho)\le \theta\le \psi_2(\rho),\ a\le \rho\le b\} $$

则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b \left[ \int_{\psi_1(\rho)}^{\psi_2(\rho)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\theta \right]d\rho $$

也可写为

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b d\rho \int_{\psi_1(\rho)}^{\psi_2(\rho)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\theta $$

若区域为圆或圆的一部分，通常优先考虑极坐标。
例如圆

$$ x^2+y^2\le R^2 $$

可表示为

$$ 0\le \rho\le R,\quad 0\le \theta\le 2\pi $$

使用极坐标的常见场景

1. 积分区域含有 $x^2+y^2$、圆、圆环、扇形等结构。
2. 被积函数中含有 $x^2+y^2$。
3. 区域边界用极坐标表示更简单。

对称性结论

若区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 关于 $y$ 为奇函数，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma=0 $$

若区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 关于 $y$ 为偶函数，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = 2\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma $$

其中 $D_1$ 为 $D$ 在 $x$ 轴一侧的部分。
若区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 为奇函数，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma=0 $$

若区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 为偶函数，则

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = 2\iint_{D_2} f(x,y)\,d\sigma $$

其中 $D_2$ 为 $D$ 在 $y$ 轴一侧的部分。

二重积分的换元法

坐标变换

设变换

$$ \begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \end{cases} \quad (u,v)\in D' $$

将 $uOv$ 平面上的闭区域 $D'$ 一一对应地映射为 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$。
若函数 $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 在 $D'$ 上具有一阶连续偏导数，且雅可比行列式

$$ J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} \ne 0 $$

则二重积分的换元公式为

$$ \iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|dudv $$

其中

$$ dxdy = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|dudv $$

雅可比行列式的意义
雅可比行列式表示坐标变换下的面积伸缩倍数。
因为面积只取大小，所以换元公式中使用绝对值：

$$ \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| $$

二重积分换元的目的是把原来复杂的积分区域 $D$ 转化为较简单的区域 $D'$。
换元时需要同时改变：

1. 被积函数：

$$ f(x,y)\to f(x(u,v),y(u,v)) $$

2. 积分区域：

$$ D\to D' $$

3. 面积元素：

$$ dxdy\to \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|dudv $$

极坐标是换元法的特例
令

$$ x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta $$

则

$$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho $$

所以

$$ dxdy=\rho\,d\rho d\theta $$

因此极坐标下的二重积分为

$$ \iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\rho d\theta $$

换元步骤

1. 选择合适的坐标变换

$$ x=x(u,v),\quad y=y(u,v) $$

2. 将原积分区域 $D$ 转化为新区域 $D'$。
3. 计算雅可比行列式

$$ J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} $$

4. 替换被积函数和面积元素，写成新变量下的二重积分。

直角坐标系下三重积分的计算

在直角坐标系下，将区域 $\Omega$ 用分别平行于三个坐标面的平面划分为小长方体，其体积元素为

$$ dV=dxdydz $$

因此

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dxdydz $$

三重积分的计算本质是将其化为三次积分，关键在于确定积分区域 $\Omega$ 中点的坐标取值范围。

先对 $z$ 积分

将区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得投影区域 $D_{xy}$。
若过 $D_{xy}$ 内任一点 $(x,y)$ 作平行于 $z$ 轴的直线，与 $\Omega$ 的边界交于两点

$$ z=z_1(x,y),\quad z=z_2(x,y) $$

且

$$ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y) $$

则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz \right]dxdy $$

若

$$ D_{xy}=\{(x,y)\mid y_1(x)\le y\le y_2(x),\ a\le x\le b\} $$

则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz $$

习惯上也写作

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx $$

此时积分区域可表示为

$$ \Omega= \{(x,y,z)\mid z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),\ y_1(x)\le y\le y_2(x),\ a\le x\le b\} $$

先对 $x$ 积分

若将区域 $\Omega$ 投影到 $yOz$ 平面，且

$$ \Omega= \{(x,y,z)\mid x_1(y,z)\le x\le x_2(y,z),\ y_1(z)\le y\le y_2(z),\ c\le z\le d\} $$

则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_c^d dz \int_{y_1(z)}^{y_2(z)}dy \int_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)} f(x,y,z)\,dx $$

先对 $y$ 积分

若将区域 $\Omega$ 投影到 $xOz$ 平面，且

$$ \Omega= \{(x,y,z)\mid y_1(x,z)\le y\le y_2(x,z),\ z_1(x)\le z\le z_2(x),\ a\le x\le b\} $$

则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_a^b dx \int_{z_1(x)}^{z_2(x)}dz \int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)} f(x,y,z)\,dy $$

化为三次积分的步骤

1. 画出空间区域 $\Omega$ 的草图。
2. 选择合适的投影面，确定最内层积分变量。
3. 用不等式组表示 $\Omega$ 中点 $(x,y,z)$ 的取值范围。
4. 按积分次序写出积分限，将三重积分化为三次积分。

利用柱面坐标计算三重积分

柱面坐标可以看作平面极坐标在空间中的推广。
设点 $M(x,y,z)$ 在空间中，其在 $xOy$ 平面上的投影为 $P$。若点 $P$ 的极坐标为 $(\rho,\theta)$，则点 $M$ 的柱面坐标为

$$ (\rho,\theta,z) $$

其中：

• $\rho$ 表示点 $M$ 到 $z$ 轴的距离
• $\theta$ 表示点 $P$ 在 $xOy$ 平面内的极角
• $z$ 表示点 $M$ 的竖坐标

直角坐标与柱面坐标的关系为

$$ x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad z=z $$

取值范围通常为

$$ 0\le \rho<+\infty,\quad 0\le \theta<2\pi,\quad -\infty

坐标面
柱面坐标中的三个坐标面分别为：

1. $\rho=\rho_0$：以 $z$ 轴为轴、半径为 $\rho_0$ 的圆柱面
2. $\theta=\theta_0$：过 $z$ 轴的半平面
3. $z=z_0$：平行于 $xOy$ 平面的平面

体积元素
在柱面坐标中，小体积元素近似为

$$ dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz $$

其中多出的因子 $\rho$ 来自极坐标下的面积伸缩：

$$ dxdy=\rho\,d\rho\,d\theta $$

因此

$$ dV=dxdy\,dz=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz $$

三重积分公式
若空间区域 $\Omega$ 在柱面坐标下对应区域为 $\Omega'$，则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z) \rho\,d\rho\,d\theta\,dz $$

使用柱面坐标的常见场景

1. 积分区域含有 $x^2+y^2$、圆柱面、圆锥面、旋转体等结构。
2. 被积函数中含有 $x^2+y^2$。
3. 区域绕 $z$ 轴具有对称性。
4. 投影到 $xOy$ 平面后，用极坐标表示更简单。

球面坐标系下三重积分的计算

球面坐标
空间中点 $M(x,y,z)$ 可用球面坐标表示为

$$ (r,\varphi,\theta) $$

其中：

• $r$：点 $M$ 到原点 $O$ 的距离
• $\varphi$：向径 $OM$ 与 $z$ 轴正向的夹角
• $\theta$：点 $M$ 在 $xOy$ 平面上的投影与 $x$ 轴正向的夹角

通常取值范围为

$$ 0\le r<+\infty,\quad 0\le \varphi\le \pi,\quad 0\le \theta\le 2\pi $$

与直角坐标的关系
设点 $M$ 在 $xOy$ 平面上的投影为 $P$，则

$$ |OP|=r\sin\varphi,\quad z=r\cos\varphi $$

因此

$$ x=r\sin\varphi\cos\theta $$

$$ y=r\sin\varphi\sin\theta $$

$$ z=r\cos\varphi $$

坐标面
球面坐标中的三个坐标面分别为：

1. $r=r_0$：以原点为球心、半径为 $r_0$ 的球面
2. $\varphi=\varphi_0$：顶点在原点、轴为 $z$ 轴的圆锥面
3. $\theta=\theta_0$：过 $z$ 轴的半平面

体积元素
在球面坐标中，体积元素为

$$ dV=r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta $$

其中因子 $r^2\sin\varphi$ 来自球面坐标变换下的体积伸缩。

三重积分公式
若空间区域 $\Omega$ 在球面坐标下对应区域为 $\Omega'$，则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iiint_{\Omega'} f(r\sin\varphi\cos\theta,\ r\sin\varphi\sin\theta,\ r\cos\varphi) r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta $$

常见使用场景

1. 积分区域含有球面、圆锥面，或边界形如 $x^2+y^2+z^2=R^2$。
2. 被积函数中含有 $x^2+y^2+z^2$。
3. 区域关于原点或某坐标轴具有球面对称性。
4. 区域用直角坐标描述复杂，而用 $r,\varphi,\theta$ 描述更简单。

曲线积分

对弧长的曲线积分

定义

设 $L$ 为 $xOy$ 面上的光滑曲线，函数 $f(x,y)$ 定义在 $L$ 上。将 $L$ 任意分成 $n$ 段小弧，每段弧长为 $\Delta s_i$，并在第 $i$ 段小弧上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式：

$$ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i $$

若当 $\lambda=\max\limits_{1\le i\le n}{\Delta s_i}\to 0$ 时，上式极限存在，且与曲线的分法和取点方式无关，则称该极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分，记作：

$$ \int_L f(x,y),ds $$

即：

$$ \int_L f(x,y),ds=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i $$

其中：

• $L$：积分曲线
• $f(x,y)$：被积函数
• $ds$：弧长元素，也称弧微分
• 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分

特别地：

$$ \int_L ds=s $$

即当被积函数为 $1$ 时，对弧长的曲线积分等于曲线 $L$ 的弧长。

三维空间中，若 $\Gamma$ 为空间曲线，则可类似定义：

$$ \int_\Gamma f(x,y,z)ds\quad\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i $$

几何意义

若 $L$ 是 $xOy$ 面上的曲线，且母线平行于 $z$ 轴，$f(x,y)$ 表示柱面上点的高度，则：

$$ \int_L f(x,y),ds $$

表示该柱面面积的代数和。

当 $f(x,y)\ge 0$ 时，面积取正；当 $f(x,y)\le 0$ 时，面积取负。

基本性质

线性性

若 $\alpha,\beta$ 为常数，则：

$$ \int_L [\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_L f(x,y),ds+\beta\int_L g(x,y)ds $$

积分区域可加性

若曲线 $L$ 由两段光滑曲线 $L_1,L_2$ 组成，则：

$$ \int_L f(x,y)ds=\int_{L_1} f(x,y)ds+\int_{L_2} f(x,y)ds $$

单调性

若在 $L$ 上有 $f(x,y)\le g(x,y)$，则：

$$ \int_L f(x,y),ds \le \int_L g(x,y),ds $$

绝对可积性

若 $f(x,y)$ 在 $L$ 上可积，则 $|f(x,y)|$ 也可积，且：

$$ \left| \int_L f(x,y),ds \right| \le \int_L |f(x,y)|,ds $$

积分中值定理

若 $f(x,y)$ 在 $L$ 上连续，则存在一点 $(\xi,\eta)\in L$，使得：

$$ \int_L f(x,y)ds=f(\xi,\eta)s $$

其中 $s$ 为曲线 $L$ 的弧长。

对弧长的曲线积分的计算

平面曲线的计算公式

设平面光滑曲线 $L$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t), \end{cases} \quad t\in[\alpha,\beta] $$

若 $x'(t),y'(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续，且

$$ [x'(t)]^2+[y'(t)]^2\ne 0 $$

函数 $f(x,y)$ 在曲线 $L$ 上连续，则

$$ \begin{aligned} \int_L f(x,y)\,ds &= \int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)] \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt \end{aligned} $$

其中弧长元素为

$$ ds= \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt $$

空间曲线的计算公式

设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t), \end{cases} \quad t\in[\alpha,\beta] $$

则

$$ \begin{aligned} \int_\Gamma f(x,y,z)\,ds &= \int_\alpha^\beta f[x(t),y(t),z(t)] \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\,dt \end{aligned} $$

其中弧长元素为

$$ ds= \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\,dt $$

计算步骤

1. 写出曲线的参数方程；
2. 将 $x,y$ 或 $x,y,z$ 代入被积函数；
3. 求弧长元素 $ds$；
4. 将曲线积分化为定积分计算。

对坐标的曲线积分

定义

设 $L$ 为一段有向光滑曲线，起点为 $A$，终点为 $B$。平面向量场为

$$ \boldsymbol{F}(x,y)=P(x,y)\boldsymbol{i}+Q(x,y)\boldsymbol{j} $$

若曲线上一点的单位切向量为

$$ \boldsymbol{e}_{\tau}(x,y) $$

则力沿曲线方向的分量为

$$ \boldsymbol{F}(x,y)\cdot \boldsymbol{e}_{\tau}(x,y) $$

将曲线 $L$ 分成若干小段，在第 $i$ 段上取点 $(\xi_i,\eta_i)$，小弧长为 $\Delta s_i$，则总功可近似为

$$ \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{F}(\xi_i,\eta_i)\cdot \boldsymbol{e}_{\tau}(\xi_i,\eta_i) \Delta s_i $$

当分割无限加细且极限存在时，定义

$$ W= \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} $$

即

$$ \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot \boldsymbol{e}_{\tau}(x,y)\,ds $$

这种积分称为对坐标的曲线积分，也称为第二类曲线积分。

坐标形式

设

$$ \boldsymbol{F}(x,y)=P(x,y)\boldsymbol{i}+Q(x,y)\boldsymbol{j} $$

曲线切向量与 $x$ 轴、$y$ 轴的夹角分别为 $\alpha,\beta$，则

$$ \boldsymbol{e}_{\tau}(x,y) = (\cos\alpha,\cos\beta) $$

所以

$$ \boldsymbol{F}(x,y)\cdot \boldsymbol{e}_{\tau}(x,y) = P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta $$

因此

$$ \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_L P(x,y)\cos\alpha\,ds + \int_L Q(x,y)\cos\beta\,ds $$

由于

$$ dx=\cos\alpha\,ds,\qquad dy=\cos\beta\,ds,\qquad $$

于是得到第二类曲线积分的常用形式：

$$ \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_L P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy $$

其中

$$ \int_L P(x,y)\,dx = \int_L P(x,y)\cos\alpha\,ds $$

$$ \int_L Q(x,y)\,dy = \int_L Q(x,y)\cos\beta\,ds $$

在空间中，设

$$ \boldsymbol{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\boldsymbol{i} + Q(x,y,z)\boldsymbol{j} + R(x,y,z)\boldsymbol{k} $$

空间曲线 $\Gamma$ 的单位切向量为

$$ \boldsymbol{e}_{\tau} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $$

则

$$ \int_\Gamma \boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_\Gamma \boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot \boldsymbol{e}_{\tau}\,ds $$

即

$$ \int_\Gamma \boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_\Gamma [P(x,y,z)\cos\alpha + Q(x,y,z)\cos\beta + R(x,y,z)\cos\gamma]\,ds $$

由于

$$ dx=\cos\alpha\,ds,\qquad dy=\cos\beta\,ds,\qquad dz=\cos\gamma\,ds $$

所以空间中的第二类曲线积分也可写为

$$ \int_\Gamma \boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_\Gamma P(x,y,z)\,dx + Q(x,y,z)\,dy + R(x,y,z)\,dz $$

物理意义

对坐标的曲线积分通常表示向量场沿有向曲线所做的功：

$$ W= \int_L \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} $$

其中 $\boldsymbol{F}$ 表示力，$d\boldsymbol{r}$ 表示沿曲线方向的微小位移。

基本性质

方向性

若 $L^{-}$ 表示与 $L$ 方向相反的曲线，则

$$ \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} = - \int_{L^{-}} \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} $$

第二类曲线积分与曲线方向有关。

线性性

若 $\alpha,\beta$ 为常数，则

$$ \int_L [\alpha\boldsymbol{F}(x,y)+\beta\boldsymbol{G}(x,y)] \cdot d\boldsymbol{r} = \alpha \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} + \beta \int_L \boldsymbol{G}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} $$

积分区域可加性

若

$$ L=L_1\cup L_2 $$

且 $L_1,L_2$ 方向与 $L$ 的方向一致，则

$$ \int_L \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{L_1} \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} + \int_{L_2} \boldsymbol{F}(x,y)\cdot d\boldsymbol{r} $$

对坐标的曲线积分的计算

平面曲线的计算公式

设有向光滑曲线 $AB$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t), \end{cases} \quad \alpha\le t\le \beta $$

其中 $t=\alpha$ 对应起点 $A$，$t=\beta$ 对应终点 $B$。

若 $x'(t),y'(t)$ 连续，且

$$ [x'(t)]^2+[y'(t)]^2\ne 0 $$

函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在曲线 $AB$ 上连续，则

$$ \begin{aligned} \int_{AB} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy &= \int_\alpha^\beta \left[ P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t) \right]\,dt \end{aligned} $$

第二类曲线积分与曲线方向有关。
若 $BA$ 表示与 $AB$ 方向相反的曲线，则

$$ \int_{BA} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy = - \int_{AB} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy $$

在参数方程中，方向由参数 $t$ 的增加方向决定。

若反向积分，只需交换积分上下限：

$$ \int_{BA} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy = \int_\beta^\alpha \left[ P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t) \right]\,dt $$

计算步骤

1. 写出有向曲线的参数方程；
2. 确定参数变化区间和曲线方向；
3. 代入公式

$$ \begin{aligned} \int_{AB} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy &= \int_\alpha^\beta \left[ P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t) \right]\,dt \end{aligned} $$

4. 计算所得定积分。

空间曲线的计算公式

设空间有向光滑曲线 $AB$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t), \end{cases} \quad \alpha\le t\le \beta $$

其中 $t=\alpha$ 对应起点 $A$，$t=\beta$ 对应终点 $B$。

若 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在曲线上连续，则

$$ \begin{aligned} \int_{AB} P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz &= \int_\alpha^\beta \left[ P(x(t),y(t),z(t))x'(t) + Q(x(t),y(t),z(t))y'(t) + R(x(t),y(t),z(t))z'(t) \right]\,dt \end{aligned} $$

格林公式

单连通区域与复连通区域

若区域 $D$ 是连通开集，且 $D$ 内任一闭曲线内部都属于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域。

若区域 $D$ 内存在闭曲线，其内部不完全属于 $D$，则称 $D$ 为复连通区域。

直观地说：

• 单连通区域：没有“洞”的区域；
• 复连通区域：有“洞”的区域。

边界的正方向

设平面区域 $D$ 的边界为 $\partial D$，当人沿边界 $\partial D$ 行走时，如果区域 $D$ 始终在人的左侧，则称 $\partial D$ 取正方向。

• 对于单连通区域，正方向通常是逆时针方向。
• 对于有洞区域，外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向。

格林公式

设平面闭区域 $D$ 的边界 $\partial D$ 为分段光滑曲线，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有连续偏导数，则

$$ \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy $$

其中 $\partial D$ 取正方向。

这就是格林公式。

格林公式也可写成

$$ \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \begin{vmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y}\\ P & Q \end{vmatrix} dxdy $$

作用

格林公式建立了平面区域 $D$ 上的二重积分与边界 $\partial D$ 上的第二类曲线积分之间的关系。

它可以把某些第二类曲线积分转化为二重积分：

$$ \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy \longrightarrow \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy $$

也可以反过来把某些二重积分转化为曲线积分。

适用条件

使用格林公式时，需要满足：

1. $D$ 是平面闭区域；
2. $\partial D$ 是分段光滑闭曲线；
3. $P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有连续偏导数；
4. $\partial D$ 取正方向。
   格林公式既适用于单连通区域，也适用于复连通区域。

常用拆分公式

由格林公式可得到：

$$ \oint_{\partial D} P\,dx = - \iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dxdy $$

$$ \oint_{\partial D} Q\,dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} dxdy $$

因此

$$ \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} dxdy - \iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dxdy $$

与牛顿—莱布尼茨公式的类比

一元积分中有

$$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) $$

它反映了区间内部积分与边界端点取值之间的关系。

格林公式是二维情形中的类似关系：

$$ \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy $$

它把区域内部的积分与区域边界上的积分联系起来。

平面上曲线积分与路径无关

设 $D$ 为平面单连通区域，$P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有连续一阶偏导数，则以下命题等价：

1. 对 $D$ 内任一闭曲线 $L$，有

$$ \oint_L P\,dx+Q\,dy=0 $$

2. 对任一完全位于 $D$ 内的曲线弧 $AB$，积分

$$ \int_{AB}P\,dx+Q\,dy $$

只与起点 $A$、终点 $B$ 有关，与路径形状无关。
3. 在 $D$ 内存在函数 $u(x,y)$，使得

$$ du=P\,dx+Q\,dy $$

即

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=Q $$

4. 在 $D$ 内处处成立：

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$

实际判断路径无关时，最常用的是：

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$

全微分方程

定义

若一阶微分方程

$$ P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0 $$

的左端恰好是某个函数 $u=u(x,y)$ 的全微分，即

$$ d u(x,y)=P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy $$

则称该方程为全微分方程。

此时方程可写成

$$ du=0 $$

所以它的隐式通解为

$$ u(x,y)=C $$

判定条件

设 $P(x,y),Q(x,y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数。

则

$$ P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0 $$

是全微分方程的充要条件为

$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$

在区域 $D$ 内恒成立。

也就是说：

若存在函数 $u(x,y)$，使得

$$ du=P\,dx+Q\,dy $$

则必有

$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$

反过来，在单连通区域内，若

$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$

则 $P\,dx+Q\,dy$ 一定是某个函数的全微分。

核心思路

全微分方程的本质是：

$$ P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy $$

可以看成某个函数 $u(x,y)$ 的微分。

因此解方程的关键是找到势函数 $u(x,y)$，使得

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y) $$

$$ \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y) $$

找到 $u(x,y)$ 后，通解就是

$$ u(x,y)=C $$

曲面积分

对面积的曲面积分

定义

设曲面 $S$ 光滑，函数 $f(x,y,z)$ 定义在 $S$ 上。
将曲面 $S$ 任意分成 $n$ 个小块：

$$ \Delta S_1,\Delta S_2,\cdots,\Delta S_n $$

其中 $\Delta S_i$ 也表示第 $i$ 个小块的面积。
在每个小块 $\Delta S_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式：

$$ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i $$

时，极限

$$ \lim_{\Delta S_{max} \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i $$

存在，且与曲面的分法和取点方式无关，则称该极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $S$ 上对面积的曲面积分，记作：

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS $$

即

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS = \lim_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i $$

其中：

• $f(x,y,z)$ 称为被积函数；
• $S$ 称为积分曲面；
• $dS$ 称为面积元素；
• 对面积的曲面积分也称为第一类曲面积分。

存在性
若 $f(x,y,z)$ 在光滑曲面 $S$ 上连续，则曲面积分

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS $$

存在。

物理意义

若曲面 $S$ 的面密度为连续函数 $\mu(x,y,z)$，则曲面 $S$ 的质量为

$$ M=\iint_S \mu(x,y,z)\,dS $$

也就是说，对面积的曲面积分可以理解为把曲面上每一点的函数值按面积累加。

光滑曲面

曲面 $S$ 光滑，是指曲面上每点都有切平面，且切平面的法向量随点连续变化。

例如，若曲面由方程

$$ z=z(x,y) $$

给出，则其法向量可取为

$$ (-z_x(x,y),-z_y(x,y),1) $$

因此法向量连续变化等价于 $z_x(x,y),z_y(x,y)$ 连续。

对面积的曲面积分的计算

显式曲面的面积元素

设光滑曲面 $S$ 的方程为

$$ z=z(x,y),\quad (x,y)\in D_{xy} $$

则曲面面积元素为

$$ dS= \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy $$

因此，若 $f(x,y,z)$ 在 $S$ 上连续，则

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy $$

这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的基本公式。

同理
若曲面可表示为

$$ x=x(y,z),\quad (y,z)\in D_{yz} $$

则

$$ dS= \sqrt{1+x_y^2+x_z^2}\,dydz $$

从而

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{yz}} f(x(y,z),y,z) \sqrt{1+x_y^2+x_z^2}\,dydz $$

若曲面可表示为

$$ y=y(x,z),\quad (x,z)\in D_{xz} $$

则

$$ dS= \sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\,dxdz $$

从而

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{xz}} f(x,y(x,z),z) \sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\,dxdz $$

参数曲面的面积元素

若曲面 $S$ 的参数方程为

$$ \boldsymbol{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), \quad (u,v)\in D $$

则

$$ dS= \left| \boldsymbol{r}_u\times \boldsymbol{r}_v \right|\,dudv $$

其中

$$ \boldsymbol{r}_u= \left( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u} \right), \quad \boldsymbol{r}_v= \left( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v} \right) $$

于是

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \left| \boldsymbol{r}_u\times \boldsymbol{r}_v \right|\,dudv $$

展开后也可写为

$$ dS= \sqrt{ \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \right)^2 + \left( \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} \right)^2 + \left( \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right)^2 }\,dudv $$

因此

$$ \iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{ \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \right)^2 + \left( \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} \right)^2 + \left( \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right)^2 }\,dudv $$

计算步骤

1. 判断曲面适合投影到哪个坐标面，或直接使用参数方程；
2. 写出对应的面积元素 $dS$；
3. 将曲面方程代入被积函数；
4. 将曲面积分化为二重积分计算。

对坐标的曲面积分

有向曲面

若曲面有两个侧面，且可以连续地区分其中一侧和另一侧，则称该曲面为双侧曲面，也称为有向曲面。

指定曲面的一侧后，该曲面就有了确定的方向。通常用曲面上连续变化的单位法向量表示曲面的方向。

若曲面没有办法连续地区分两侧，则称为不可定向曲面，如莫比乌斯带。

定义

设 $S$ 是有向光滑曲面，向量场为

$$ \boldsymbol{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\boldsymbol{i} + Q(x,y,z)\boldsymbol{j} + R(x,y,z)\boldsymbol{k} $$

曲面 $S$ 上一点的单位法向量为

$$ \boldsymbol{e}_n(x,y,z) $$

则向量场穿过曲面 $S$ 的通量定义为

$$ \iint_S \boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_S \boldsymbol{F}(x,y,z)\cdot \boldsymbol{e}_n(x,y,z)\,dS $$

这种积分称为对坐标的曲面积分，也称为第二类曲面积分。

其中：

$$ d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{e}_n\,dS $$

将曲面 $S$ 分成若干小块 $\Delta S_i$，在每块上取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，若极限

$$ \lim_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{F}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \cdot \boldsymbol{e}_n(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_i $$

存在，则定义

$$ \iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = \lim_{\Delta S_{max} \to 0} \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{F}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \cdot \boldsymbol{e}_n(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_i $$

坐标形式

设单位法向量的方向余弦为

$$ \boldsymbol{e}_n = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $$

则

$$ \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{e}_n = P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma $$

因此

$$ \iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_S (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS $$

记

$$ dydz=\cos\alpha\,dS,\qquad dzdx=\cos\beta\,dS,\qquad dxdy=\cos\gamma\,dS $$

则第二类曲面积分可写成

$$ \iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_S P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy $$

物理意义

若 $\boldsymbol{F}$ 表示流速场，则

$$ \iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} $$

表示单位时间内穿过有向曲面 $S$ 的流量，也称为通量。

若结果为正，表示流体总体沿指定法向量方向穿出曲面；若结果为负，表示流体总体沿相反方向穿过曲面。

基本性质

方向性

若 $S^{-}$ 表示与 $S$ 方向相反的曲面，则

$$ \iint_{S^{-}} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = - \iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} $$

第二类曲面积分与曲面方向有关。
线性性

若 $a,b$ 为常数，则

$$ \iint_S [a\boldsymbol{F}+b\boldsymbol{G}] \cdot d\boldsymbol{S} = a\iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} + b\iint_S \boldsymbol{G}\cdot d\boldsymbol{S} $$

曲面可加性

若 $S=S_1\cup S_2$，且 $S_1,S_2$ 方向与 $S$ 的方向一致，则

$$ \iint_S \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = \iint_{S_1} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} + \iint_{S_2} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} $$

对坐标的曲面积分的计算

设向量场

$$ \mathbf F=(P,Q,R) $$

有向曲面 $S$ 的单位法向量方向余弦为

$$ (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $$

则第二型曲面积分可化为第一型曲面积分：

$$ \iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iint_S (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS $$

但实际计算时，通常直接化为二重积分。

参数方程形式

设光滑有向曲面 $S$ 的参数方程为

$$ x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),\quad (u,v)\in D_{uv} $$

则

$$ \begin{aligned} \iint_S \mathbf F\cdot d\mathbf S&=\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy \\ &=\pm\iint_{D_{uv}}\left[P(x(u,v),y(u(v),z(u,v)))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}+Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}+R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right]du\,dv \end{aligned} $$

其中

$$ \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right) $$

就是由参数方程给出的法向量，也等于

$$ \mathbf r_u\times \mathbf r_v $$

若

$$ \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right) $$

• 与题目给定的曲面方向一致，则取 $+$
• 与题目给定的曲面方向相反，则取 $-$

也就是：

$$ \iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iint_{D_{uv}} \mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv $$

显式方程形式

设有向曲面 $S$ 由

$$ z=z(x,y),\quad (x,y)\in D_{xy} $$

给出，其中 $D_{xy}$ 是 $S$ 在 $xOy$ 面上的投影区域，对其他面的投影也是同理。

则

$$ \iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \pm \iint_{D_{xy}} \left[ P(x,y,z(x,y))(-z_x)+Q(x,y,z(x,y))(-z_y)+R(x,y,z(x,y)) \right]dx\,dy $$

显式曲面的符号规则

曲面

$$ z=z(x,y) $$

对应的参数方程为

$$ \mathbf r(x,y)=(x,y,z(x,y)) $$

因此

$$ \mathbf r_x\times\mathbf r_y=(-z_x,-z_y,1) $$

若题目规定它指向曲面的上侧。
则：

• $S$ 取上侧，右端取 $+$
• $S$ 取下侧，右端取 $-$

微分替换法

计算时可记为：

$$ dy\,dz\to -z_x\,dx\,dy $$

$$ dz\,dx\to -z_y\,dx\,dy $$

$$ dx\,dy\to dx\,dy $$

所以

$$ P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy \to (-Pz_x-Qz_y+R)\,dx\,dy $$

再根据曲面的方向决定整体正负号。

这些替换本质上来自雅可比行列式：

$$ dy\,dz= \frac{\partial(y,z)}{\partial(x,y)}dx\,dy = -z_x\,dx\,dy $$

$$ dz\,dx= \frac{\partial(z,x)}{\partial(x,y)}dx\,dy = -z_y\,dx\,dy $$

$$ dx\,dy= \frac{\partial(x,y)}{\partial(x,y)}dx\,dy = dx\,dy $$

这里的 $dy\,dz$、$dz\,dx$、$dx\,dy$ 要看成一个整体，而不是普通微分的乘法。

高斯公式

设闭区域 $V$ 由分片光滑的闭曲面 $S$ 围成，$S$ 取外侧为正向。若函数 $P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$ 在 $V$ 上具有连续一阶偏导数，则

$$ \iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)dV $$

其中 $S=\partial V$，表示 $S$ 是闭区域 $V$ 的边界曲面。

分量形式
高斯公式可拆成三个基本公式：

$$ \iint_S P\,dy\,dz = \iiint_V \frac{\partial P}{\partial x}\,dV $$

$$ \iint_S Q\,dz\,dx = \iiint_V \frac{\partial Q}{\partial y}\,dV $$

$$ \iint_S R\,dx\,dy = \iiint_V \frac{\partial R}{\partial z}\,dV $$

三式相加即得高斯公式。

使用条件

使用高斯公式时要注意：

1. 曲面 $S$ 必须是闭曲面。
2. 曲面正向通常取外侧。
3. $P,Q,R$ 在闭区域 $V$ 上具有连续一阶偏导数。
4. 若曲面不封闭，需要先补面，使其成为闭曲面。
5. 补面后要注意补面的方向，最后再减去补面积分。

斯托克斯公式

设有向曲面 $S$ 的边界曲线为 $\Gamma$，$\Gamma$ 的正向与 $S$ 的取向满足右手法则。若 $P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$ 在包含 $S$ 的区域内具有连续一阶偏导数，则

$$ \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy $$

若记

$$ \mathbf F=(P,Q,R) $$

则

$$ \operatorname{curl}\mathbf F = \nabla\times\mathbf F = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) $$

所以斯托克斯公式可写成

$$ \oint_{\Gamma}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S $$

分量形式

斯托克斯公式可拆成三个基本公式：

$$ \oint_{\Gamma}P\,dx = \iint_S \left( \frac{\partial P}{\partial z}\,dz\,dx - \frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,dy \right) $$

$$ \oint_{\Gamma}Q\,dy = \iint_S \left( \frac{\partial Q}{\partial x}\,dx\,dy - \frac{\partial Q}{\partial z}\,dy\,dz \right) $$

$$ \oint_{\Gamma}R\,dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y}\,dy\,dz - \frac{\partial R}{\partial x}\,dz\,dx \right) $$

三式相加即得斯托克斯公式。

与格林公式的关系

若曲面 $S$ 位于 $xOy$ 面内，并取上侧为正向，则

$$ dz=0 $$

且

$$ dx\,dy $$

对应正向面积元。

此时斯托克斯公式化为

$$ \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy $$

这正是格林公式。

因此，斯托克斯公式可以看作是格林公式在空间曲面上的推广。

使用条件

使用斯托克斯公式时要注意：

1. 曲线 $\Gamma$ 必须是曲面 $S$ 的边界。
2. 曲线 $\Gamma$ 必须是闭曲线。
3. 曲面 $S$ 必须有确定的取向。
4. $\Gamma$ 的正向必须与 $S$ 的法向量方向满足右手法则。
5. $P,Q,R$ 在包含 $S$ 的区域内具有连续一阶偏导数。

空间中曲线积分与路径无关

设 $V$ 是空间单连通区域，$P,Q,R$ 在 $V$ 内具有连续一阶偏导数，则以下条件等价：

1. 曲线积分

$$ \int_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz $$

与路径无关。
2. 对 $V$ 内任意闭曲线 $\Gamma$，有

$$ \oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=0 $$

3. $P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ 是某个函数 $u(x,y,z)$ 的全微分，即

$$ du=P\,dx+Q\,dy+R\,dz $$

4. 满足

$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$

$$ \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y} $$

$$ \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z} $$

也就是

$$ \nabla\times\mathbf F=\mathbf 0 $$

外微分式

把 $dx,dy,dz$ 看作外变量，满足反交换规律。
零次外微分式就是函数：

$$ \omega_0=f(x,y,z) $$

一次外微分式：

$$ \omega_1=P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz $$

二次外微分式：

$$ \omega_2=P(x,y,z)\,dy\wedge dz +Q(x,y,z)\,dz\wedge dx +R(x,y,z)\,dx\wedge dy $$

三次外微分式：

$$ \omega_3=f(x,y,z)\,dx\wedge dy\wedge dz $$

其中 $\wedge$ 表示外积。

外积运算法则

外积满足反交换律：

$$ dx_i\wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i $$

因此：

$$ dx\wedge dx=dy\wedge dy=dz\wedge dz=0 $$

特别地：

$$ dy\wedge dx=-dx\wedge dy $$

$$ dz\wedge dy=-dy\wedge dz $$

$$ dx\wedge dz=-dz\wedge dx $$

外积还满足分配律和结合律：

$$ \alpha\wedge(\beta+\gamma) = \alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\gamma $$

$$ (\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma = \alpha\wedge(\beta\wedge\gamma) $$

例如：

$$ (P_1\,dx+Q_1\,dy)\wedge(P_2\,dx+Q_2\,dy) = (P_1Q_2-Q_1P_2)\,dx\wedge dy $$

外微分

外微分会把 $p$ 次外微分式变成 $p+1$ 次外微分式。

零次外微分式的外微分

若

$$ \omega_0=f(x,y,z) $$

则

$$ d\omega_0=df = f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz $$

一次外微分式的外微分

若

$$ \omega_1=P\,dx+Q\,dy+R\,dz $$

则

$$ d\omega_1=dP\wedge dx+dQ\wedge dy+dR\wedge dz $$

即

$$ d\omega_1 = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)dy\wedge dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)dz\wedge dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\wedge dy $$

这正对应向量场

$$ \mathbf F=(P,Q,R) $$

的旋度：

$$ d\omega_1 \Longleftrightarrow \nabla\times\mathbf F $$

二次外微分式的外微分

若

$$ \omega_2=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy $$

则

$$ d\omega_2 = dP\wedge dy\wedge dz + dQ\wedge dz\wedge dx + dR\wedge dx\wedge dy $$

即

$$ d\omega_2 = \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx\wedge dy\wedge dz $$

这正对应向量场

$$ \mathbf F=(P,Q,R) $$

的散度：

$$ d\omega_2 \Longleftrightarrow \nabla\cdot\mathbf F $$

外微分与三大公式

格林公式

令

$$ \omega_1=P\,dx+Q\,dy $$

则

$$ d\omega_1= \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\wedge dy $$

所以格林公式可写成：

$$ \int_{\partial D}\omega_1 = \int_D d\omega_1 $$

即

$$ \oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy $$

斯托克斯公式

令

$$ \omega_1=P\,dx+Q\,dy+R\,dz $$

则

$$ d\omega_1 = \left( R_y-Q_z \right)dy\wedge dz + \left( P_z-R_x \right)dz\wedge dx + \left( Q_x-P_y \right)dx\wedge dy $$

所以斯托克斯公式可写成：

$$ \int_{\partial S}\omega_1 = \int_S d\omega_1 $$

即

$$ \oint_{\partial S}P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_S (R_y-Q_z)\,dy\,dz + (P_z-R_x)\,dz\,dx + (Q_x-P_y)\,dx\,dy $$

高斯公式

令

$$ \omega_2=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy $$

则

$$ d\omega_2= (P_x+Q_y+R_z)\,dx\wedge dy\wedge dz $$

所以高斯公式可写成：

$$ \int_{\partial V}\omega_2 = \int_V d\omega_2 $$

即

$$ \iint_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V (P_x+Q_y+R_z)\,dx\,dy\,dz $$

符号判断

外积顺序决定方向：

$$ dy\wedge dz=-dz\wedge dy $$

$$ dz\wedge dx=-dx\wedge dz $$

$$ dx\wedge dy=-dy\wedge dx $$

所以换序会变号。

常用判断：

• $dy\wedge dz$ 对应法向量朝 $x$ 轴正向的面积元
• $dz\wedge dx$ 对应法向量朝 $y$ 轴正向的面积元
• $dx\wedge dy$ 对应法向量朝 $z$ 轴正向的面积元

若曲面取反方向，则整体变号。

统一形式

牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、斯托克斯公式、高斯公式都可统一写为：

$$ \int_{\partial \Omega}\omega = \int_{\Omega}d\omega $$

含义是：
边界上的积分，等于区域内部外微分的积分。