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向量
数量积
定义
设 $\boldsymbol{a,b}$ 是两向量，且他们之间的夹角是 $\theta$，称数 $|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cos\theta$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的数量积，并记作 $\boldsymbol{a\cdot b}$
向量的数量积也称为点积和内积
性质
- $\boldsymbol{a\cdot a}=|\boldsymbol{a}|^2$
- $\boldsymbol{a\perp b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a\cdot b}=0$
- 交换律：$\boldsymbol{a\cdot b=b\cdot a}$
- 分配律：$\boldsymbol{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
- 数乘向量的结合律：$(\lambda \boldsymbol{a})\boldsymbol{\cdot b}=\boldsymbol{a\cdot}(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a\cdot b})$
数量积的坐标表达式：
若 $\boldsymbol{a}=(a_{x},a_{y},a_{z}),\boldsymbol{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})$，则 $\boldsymbol{a\cdot b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$
向量积
定义
设向量 $\boldsymbol{a,b}$，规定向量 $\boldsymbol{a,b}$ 的向量积为一向量，记作 $\boldsymbol{a\times b}$，其模与方向分别为
- $|\boldsymbol{a\times b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta(\theta=\widehat{(\boldsymbol{a,b})})$
- $\boldsymbol{a\times b}$ 同时垂直于 $\boldsymbol{a,b}$，且 $\boldsymbol{a,b,a\times b}$ 满足右手定则
向量的向量积又常称为向量的叉积或外积
由定义可以看出两向量的向量积有如下的几何意义：
- 模：$|\boldsymbol{a\times b}|=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\sin\theta$，即表示以 $\boldsymbol{a,b}$ 为边的平行四边形的面积
- 方向：垂直于一切既平行于 $\boldsymbol{a}$ 又平行于 $\boldsymbol{b}$ 的平面
性质
- $\boldsymbol{0\times a=a\times 0=0}$
- $\boldsymbol{a\times a=0}$
- $\boldsymbol{a\parallel b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a\times b=0}$
- $\boldsymbol{a\times b=-b\times a}$（不满足交换律）
- 分配律：$\boldsymbol{(a+b)\times c=a\times c+b\times c}$
- 数乘结合律：$(\lambda\boldsymbol{a})\times(\mu \boldsymbol{b})=\lambda\mu \boldsymbol{a\times b}$
向量积的坐标表达式：
设 $\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b} = b_x \boldsymbol{i} + b_y \boldsymbol{j} + b_z \boldsymbol{k}$，则有
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &= (a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k}) \times (b_x \boldsymbol{i} + b_y \boldsymbol{j} + b_z \boldsymbol{k}) \\ &= (a_x b_x)(\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i}) + (a_x b_y)(\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}) + (a_x b_z)(\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k}) + \\ &\quad (a_y b_x)(\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{i}) + (a_y b_y)(\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j}) + (a_y b_z)(\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k}) + \\ &\quad (a_z b_x)(\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i}) + (a_z b_y)(\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{j}) + (a_z b_z)(\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k}). \end{aligned} $$
注意到，对于标准单位向量 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$，有 $\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k} = \boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} = \boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j}$；$\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{i} = -\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{j} = -\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k} = -\boldsymbol{j}$，于是，有
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &= [(a_x b_y)\boldsymbol{k} - (a_x b_z)\boldsymbol{j}] + [-(a_y b_x)\boldsymbol{k} + (a_y b_z)\boldsymbol{i}] + [(a_z b_x)\boldsymbol{j} - (a_z b_y)\boldsymbol{i}] \\ &= (a_y b_z - a_z b_y)\boldsymbol{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\boldsymbol{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\boldsymbol{k}, \end{aligned} $$
用行列式表示即为
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{a\times b}&=\begin{vmatrix}a_{y} & a_{z} \\b_{y} & b_{z}\end{vmatrix}\boldsymbol{i}+\begin{vmatrix}a_{x} & a_{z} \\b_{x} & b_{z}\end{vmatrix}\boldsymbol{j}+\begin{vmatrix}a_{x} & a_{y} \\b_{x} & b_{y}\end{vmatrix}\boldsymbol{k} \\ &=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}a_{y} & a_{z} \\b_{y} & b_{z}\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{x} & a_{z} \\b_{x} & b_{z}\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{x} & a_{y} \\b_{x} & b_{y}\end{vmatrix}\end{pmatrix} \end{aligned} $$
或
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{a\times b}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\a_{x} & a_{y} & a_{z} \\b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{vmatrix} \end{aligned} $$
混合积
定义
设有三个向量 $\boldsymbol{a,b,c}$，先作向量积 $\boldsymbol{a\times b}$，再作数量积 $(\boldsymbol{a\times b})\cdot \boldsymbol{c}$，这样得到的数称为三个向量的混合积，记作 $[\boldsymbol{a,b,c}]$ 或 $[\boldsymbol{a\;b\; c}]$
由定义可以看出混合积有如下的几何意义：
对向量 $\boldsymbol{a}=(a_{x},a_{y},a_{z}),\boldsymbol{b}=(b_{x},b_{y},b_{z}),\boldsymbol{c}=(c_{x},c_{y},c_{z})$,则 $|[\boldsymbol{a\;b\;c}]|$ 表示以 $\boldsymbol{a,b,c}$ 为棱的平行六面体的体积
现推导向量的混合积的坐标表示式.
设 $\boldsymbol{a}=(a_x, a_y, a_z)$, $\boldsymbol{b}=(b_x, b_y, b_z)$, $\boldsymbol{c}=(c_x, c_y, c_z)$, 则
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} \boldsymbol{i} - \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} \boldsymbol{j} + \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} \boldsymbol{k} \\ [\boldsymbol{a} \ \boldsymbol{b} \ \boldsymbol{c}] &= (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} c_x - \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} c_y + \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} c_z \\ &= \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \end{aligned} $$
性质
由行列式性质可得 $[\boldsymbol{a\;b\;c}]=[\boldsymbol{b\;c\;a}]=[\boldsymbol{c\;a\;b}]\neq[\boldsymbol{a\;c\;b}]=[\boldsymbol{b\;a\;c}]=[\boldsymbol{c\;b\;a}]$
二重向量积公式
$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}$
证明：
设 $\boldsymbol{a}=(a_x, a_y, a_z)$, $\boldsymbol{b}=(b_x, b_y, b_z)$, $\boldsymbol{c}=(c_x, c_y, c_z)$, 则
$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix}\boldsymbol{i} - \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}\boldsymbol{j} + \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}\boldsymbol{k}, $$
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \\ &= -\left( \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}c_z + \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}c_y \right)\boldsymbol{i} \\ &\quad\;- \left( \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix}c_z - \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}c_x \right)\boldsymbol{j} \\ &\quad\;+ \left( \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix}c_y + \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}c_x \right)\boldsymbol{k} \end{aligned} $$
若记 $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=(x, y, z)$, 则
$$ \begin{aligned} x &= -\left( \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}c_z + \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}c_y \right) = -a_x b_z c_z + a_z b_x c_z - a_x b_y c_y + a_y b_x c_y \\ &= (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z)b_x - (b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z)a_x \\ &= (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_x - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_x, \end{aligned} $$
类似地，还可证明
$$ y = (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_y - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_y, \quad z = (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_z - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_z, $$
故
$$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}. $$
平面
平面的方程
点法式方程
设平面 $\pi$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$，其上一点为 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$，则可设平面 $\pi$ 上任意一点为 $M(x,y,z)$ 则有 $\overrightarrow{MM_{0}}\cdot \boldsymbol{n}=0$，即可得该平面的方程为 $A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$，该式称为平面的点法式方程
三点式方程
若平面过三点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$，$M_2(x_2, y_2, z_2)$，$M_3(x_3, y_3, z_3)$，因
$$ \overrightarrow{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1), \overrightarrow{M_1M_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1), $$
则 $\boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_1M_2}$，$\boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_1M_3}$. 于是
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{n} &= \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3} \\ &= \left( \begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} z_2-z_1 & x_2-x_1 \\ z_3-z_1 & x_3-x_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix} \right) \end{aligned} $$
又点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$ 是此平面上一定点，由平面的点法式方程可得
$$ \begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} (x-x_1) + \begin{vmatrix} z_2-z_1 & x_2-x_1 \\ z_3-z_1 & x_3-x_1 \end{vmatrix} (y-y_1) + \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix} (z-z_1) = 0 $$
或
$$ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0 $$
该式称为平面的三点式方程
一般式方程
$Ax+By+Cz+D=0$ 称为平面的一般式方程，其以非零向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ 为法向量
对于一些特殊的三元一次方程，所表示的平面具有明显的特点，如
- 当 $D=0$ 时，方程为 $Ax+By+Cz=0$，它表示通过原点的平面
- 当 $A=0$ 时，方程为 $By+Cz+D=0$，其法向量为 $\boldsymbol{n}=(0, B, C)$，$\boldsymbol{n}$ 垂直于 $x$ 轴，从而平面 $By+Cz+D=0$ 平行于 $x$ 轴
- 当 $A=B=0$ 时，方程为 $Cz+D=0$ 或 $z=-\frac{D}{C}$，法向量 $\boldsymbol{n}=(0, 0, C)$ 同时垂直于 $x$ 轴，$y$ 轴，故 $\boldsymbol{n}$ 垂直于 $xOy$ 面，因此方程表示过点 $\left(0, 0, -\frac{D}{C}\right)$，且平行于 $xOy$ 面的平面
截距式方程
设平面与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴分别交于三点 $P(a, 0, 0)$，$Q(0, b, 0)$，$R(0, 0, c)$($abc\neq 0$)
设平面方程为 $Ax+By+Cz+D=0$，将三点的坐标分别代入得
$$ a \cdot A+D=0, \ b \cdot B+D=0, \ c \cdot C+D=0, $$
因为 $abc \neq 0$，故 $A=-\frac{D}{a}, \ B=-\frac{D}{b}, \ C=-\frac{D}{c}$ 有意义，代入所设方程有
$$ -\frac{D}{a} \cdot x - \frac{D}{b} \cdot y - \frac{D}{c} \cdot z + D = 0, $$
这里 $D \neq 0$，两边同除以 $D$ 有
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $$
该式称为平面的截距式方程，而 $a, b, c$ 依次称为平面在 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴上的截距
点到平面的距离
设 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 是平面 $\pi: Ax+By+Cz+D=0$ 外一点，点 $P_0$ 到平面 $\pi$ 的距离 $d$ 的公式可如下求得
设 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 为点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 在平面 $\pi$ 上的投影点，由条件，平面 $\pi$ 的单位法向量 $\boldsymbol{e}_n = \frac{(A, B, C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$，故
$$ \begin{aligned} d &= |\overrightarrow{P_1P_0}| = |\overrightarrow{P_1P_0}| \cdot |\boldsymbol{e}_n| = |\overrightarrow{P_1P_0} \cdot \boldsymbol{e}_n| \\ &= \left| (x_0-x_1, y_0-y_1, z_0-z_1) \cdot \frac{(A, B, C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right| \\ &= \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} |A(x_0-x_1) + B(y_0-y_1) + C(z_0-z_1)| \\ &= \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} |Ax_0+By_0+Cz_0 - Ax_1-By_1-Cz_1|. \end{aligned} $$
注意到 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 在平面 $\pi$ 上，有 $-Ax_1-By_1-Cz_1=D$，故
$$ d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
该式为点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离公式
两平面的关系
两平面的相互位置
设空间两平面的方程分别为
$$ \pi_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. $$
从几何上看，其位置关系可能是平行、重合、相交等情形
首先，由于两平面平行相当于它们的法向量平行，于是由向量平行的充分必要条件立即可推得：
平面 $\pi_1, \pi_2$ 互相平行的充分必要条件是
$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$$
容易证明：两平面 $\pi_1, \pi_2$ 重合的充分必要条件是
$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$$
若平面 $\pi_1, \pi_2$ 相交，则其法向量 $\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2$ 一定不平行；反之亦然. 故平面 $\pi_1, \pi_2$ 相交的充要条件是法向量 $\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2$ 的坐标不成比例，即 $\frac{A_1}{A_2}, \frac{B_1}{B_2}, \frac{C_1}{C_2}$ 三者不全相等
两平面间的夹角
两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角(通常不取钝角)
设平面
$$\pi_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$
, 则 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 的法向量分别为 $\boldsymbol{n}_1=(A_1, B_1, C_1)$, $\boldsymbol{n}_2=(A_2, B_2, C_2)$, 由于两平面的夹角 $\theta$ 是 $\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2$ 的夹角且不取钝角, 故得
$$ \cos \theta = \left| \frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|} \right| = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$
由该式或者由两向量垂直的充分必要条件, 都可立即得到如下结论:
两平面 $\pi_1, \pi_2$ 垂直的充分必要条件是
$$ A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$$
直线
空间直线方程
对称式方程
若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为该直线的方向向量，将其记为 $\boldsymbol{s}$. 显然，已知直线上的任何非零向量均可作为此直线的方向向量.
由于过空间一点可以而且只能作一条直线平行于一已知直线，因此，当给定直线 $L$ 上的一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 和它的一个方向向量 $\boldsymbol{s}=(m, n, p)$ 之后，空间直线 $L$ 的位置就完全确定下来了. 因此若点 $M(x, y, z)$ 在直线 $L$ 上，则 $\overrightarrow{M_0M} \parallel \boldsymbol{s}$. 而 $\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0, y-y_0, z-z_0)$，由两向量平行的充分必要条件有
$$ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}. $$
反之，如果点 $M$ 不在直线 $L$ 上，则 $\overrightarrow{M_0M}$ 与 $\boldsymbol{s}$ 不平行，从而上式不成立.
因此，过点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 且以 $\boldsymbol{s}=(m, n, p)$ 为方向向量的直线 $L$ 的方程为
$$ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$$
称该式为直线的对称式方程或点向式方程或标准方程.
参数方程
设 $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} = t$，则可得过点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 且以 $\boldsymbol{s}=(m,n,p)$ 为方向向量的直线 $L$ 的参数方程：
$$ \begin{cases} x = x_0 + mt, \\ y = y_0 + nt, \quad t \in \mathbf{R}. \\ z = z_0 + pt, \end{cases} $$
一般方程
空间直线 $L$ 可看成两平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的交线，若两个相交平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的方程分别为 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ 和 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$，则它们的交线 $L$ 上的任一点的坐标 $x,y,z$ 必然同时满足 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的方程. 反之，如果点 $(x,y,z)$ 不在直线 $L$ 上，那么它不可能同时在平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 上，所以它的坐标不能同时满足 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的方程，由此得直线 $L$ 的方程（空间直线的一般方程）：
$$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \left( \text{其中} \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \text{不成立} \right) $$
一般地说，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在这无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到此空间直线的方程
线面关系
直线和直线的位置关系
设两直线方程为
$$ L_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}},L_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}} $$
则有：
- $L_{1},L_{2}$ 共面
$$ \Leftrightarrow \begin{vmatrix}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\m_{1}& n_{1} & p_{1} \\m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{vmatrix}=0 $$
- $L_{1},L_{2}$ 异面
$$ \Leftrightarrow \begin{vmatrix}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\m_{1}& n_{1} & p_{1} \\m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{vmatrix}\neq 0 $$
- $L_{1},L_{2}$ 相交
$$ \Leftrightarrow \begin{vmatrix}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\m_{1}& n_{1} & p_{1} \\m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{vmatrix}=0 $$
且 $\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$ 不成立
4. $L_{1}\parallel L_{2} \Leftrightarrow m_{1}:n_{1}:p_{1}=m_{2}:n_{2}:p_{2}\neq(x_{2}-x_{1}):(y_{2}-y_{1}):(z_{2}-z_{1})$
5. $L_{1}\perp L_{2}\Leftrightarrow m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}=0$
6. $L_{1}=L_{2} \Leftrightarrow m_{1}:n_{1}:p_{1}=m_{2}:n_{2}:p_{2}=(x_{2}-x_{1}):(y_{2}-y_{1}):(z_{2}-z_{1})$
7. $L_{1},L_{2}$ 夹角 $\varphi$：$\cos\varphi=\frac{|m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}|}{\sqrt[]{ m_{1}^2+n_{1}^2+p_{1}^2 }\cdot \sqrt[]{ m_{2}^2+n_{2}^2+p_{2}^2 }}$
直线与平面的位置关系
设直线 $L$，平面 $\pi$ 的方程为
$$ L: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p},\pi:Ax+Bx+Cx+D=0 $$
- $L$ 与 $\pi$ 相交 $\Leftrightarrow Am+Bn+Cp\neq 0$
- $L\perp\pi\Leftrightarrow \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$
- $L\parallel\pi\Leftrightarrow Am+Bn+Cp=0$
- $L\subset \pi\Leftrightarrow Am+Bn+Cp=0 ,Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0$
- $L,\pi$ 夹角 $\varphi$：$\sin\varphi = \frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt[]{ A^2+B^2+C^2 }\cdot \sqrt[]{ m^2+n^2+p^2 }}$
过直线的平面束
设直线 $L$ 由方程组
$$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, & \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 & \end{cases} $$
所确定，其中系数 $A_1, B_1, C_1$ 与 $A_2, B_2, C_2$ 不成比例
作含有参数 $\lambda$ 的三元一次方程
$$ A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$
因 $A_1, B_1, C_1$ 与 $A_2, B_2, C_2$ 不成比例，对于任何一个 $\lambda$ 值，方程的系数 $A_1+\lambda A_2, B_1+\lambda B_2, C_1+\lambda C_2$ 不全为零，从而该方程表示一个平面. 若一点在直线 $L$ 上，则该点的坐标必同时满足方程组内两方程，因此，必满足该方程，即该方程表示过直线的一个平面，而且对于不同的 $\lambda$ 值，该方程表示过直线 $L$ 的不同平面. 反之，过直线 $L$ 的任何平面（除平面 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ 外），都包含在该方程所表示的一族平面内.
通过定直线的所有平面的全体称为平面束，称该式为过定直线 $L$ 的平面束方程.
空间曲面
柱面
定义
一般地，我们称平行于定直线并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的曲面为柱面，定曲线 $C$ 称为柱面的准线，动直线 $L$ 称为柱面的母线
方程 $F(x,y)=0$ 在空间直角坐标系中表示母线平行于 $z$ 轴的柱面，因为该方程不含 $z$，故对任意满足 $F(x,y)=0$ 的 $(x,y)$，$z$ 可取任意值，即曲面由 $xOy$ 面上的曲线 $F(x,y)=0$ 沿 $z$ 轴方向平移生成，其中
$$ \begin{cases}F(x,y)=0\\ z=0\end{cases} $$
为准线，平行于 $z$ 轴的直线为母线。
旋转曲面
平面上的曲线 $C$ 绕该平面上一条定直线旋转一周所成的曲面叫作旋转曲面，定直线 $l$ 叫作旋转曲面的轴，$C$ 称为母线。
已知 $yOz$ 平面上曲线 $C$，其方程为 $f(y,z)=0$，将 $C$ 绕 $z$ 轴旋转一周，得到一个以 $z$ 轴为轴的旋转曲面 $\Sigma$，现求 $\Sigma$ 的方程。
如图所示，在 $\Sigma$ 上任取一点 $M(x,y,z)$，则点 $M(x,y,z)$ 必位于由 $C$ 上一点 $M_1(0, y_1, z_1)$ 绕 $z$ 轴旋转一周而得的圆周上，因此 $z=z_1$，且 $M(x,y,z)$ 与 $M_1(0, y_1, z_1)$ 到 $z$ 轴的距离相等，即有
$$ \sqrt{x^2+y^2} = |y_1|, $$
但 $M_1(0, y_1, z_1)$ 的坐标满足 $f(y_1, z_1)=0$，于是得
$$ f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z) = 0$$
另一方面，若 $M(x,y,z)$ 不在此曲面 $\Sigma$ 上，则其坐标不满足该式，故该式就是旋转曲面 $\Sigma$ 的方程。
一般地，若在曲线 $C$ 的方程 $f(y,z)=0$ 中将 $y$ 改写成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$ 而 $z$ 保持不变，就得到曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面的方程 $f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z)=0$。若在曲线 $C$ 的方程 $f(y,z)=0$ 中将 $z$ 改写成 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$ 而 $y$ 保持不变，就得到曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面的方程 $f(y, \pm\sqrt{x^2+z^2})=0$。
eg:
- 旋转抛物面：
$$ \begin{cases}y^2=2pz\\ x=0\end{cases} $$
绕 $z$ 轴旋转得 $x^2+y^2=2pz$
2. 旋转椭球面：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$ 绕 $y$ 轴旋转得 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2+z^2}{b^2}=1$
3. 单叶旋转双曲面：
$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} $$
绕 $z$ 轴旋转得 $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$
4. 双叶旋转双曲面：
$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} $$
绕 $x$ 轴旋转得 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$
二次曲面
椭球面
方程为
$$ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}=1 \quad(a>0,b>0,c>0) $$
在椭球面方程中，$a,b,c$ 按其大小，分别叫作椭球的长半轴，中半轴，短半轴，若其中有两个相同则在 $xOy,yOz,zOx$ 三个截面中有一个为圆形，若三个均相等则为球面
抛物面
椭圆抛物面
方程为
$$ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} =\pm z $$
双曲抛物面
方程为
$$ \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} =\pm z $$
双曲面
单叶双曲面
方程为
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}- \frac{z^2}{c^2}=1 $$
双叶双曲面
方程为
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}- \frac{z^2}{c^2}=-1 $$
椭圆锥面
方程为
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}- \frac{z^2}{c^2}=0 $$
切平面与法线
一般方程表示的曲面
设曲面 $\Sigma$ 的方程为
$$ F(x,y,z)=0 $$
点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 在曲面 $\Sigma$ 上，且 $F_x,F_y,F_z$ 在 $P_0$ 处连续并不同时为零。
在曲面上任取一条过点 $P_0$ 的光滑曲线 $\Gamma$，设其参数方程为
$$ x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t) $$
则
$$ F(x(t),y(t),z(t))=0 $$
当 $t=t_0$ 时，对应点为 $P_0$，两边对 $t$ 求导，并令 $t=t_0$，得
$$ F_x(P_0)x'(t_0)+F_y(P_0)y'(t_0)+F_z(P_0)z'(t_0)=0 $$
令
$$ \mathbf{r}'(t_0)=\left(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\right) $$
$$ \mathbf{n}=\left.(F_x,F_y,F_z)\right|_{P_0} $$
则
$$ \mathbf{n}\cdot \mathbf{r}'(t_0)=0 $$
因为 $\mathbf{r}'(t_0)$ 是曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切向量，所以过 $P_0$ 的任意一条光滑曲线在 $P_0$ 处的切线都与向量 $\mathbf{n}$ 垂直。
因此，所有过 $P_0$ 的切线位于同一平面内，该平面称为曲面 $\Sigma$ 在 $P_0$ 处的切平面，向量
$$ \mathbf{n}=\left.(F_x,F_y,F_z)\right|_{P_0} $$
称为曲面在 $P_0$ 处的法向量。
可得切平面方程为
$$ F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0 $$
法线方程为
$$ \frac{x-x_0}{F_x(P_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(P_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(P_0)} $$
参数方程表示的曲面
设曲面 $\Sigma$ 的参数方程为
$$ x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),\quad (u,v)\in D $$
点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 为曲面上一点，且
$$ x_0=x(u_0,v_0),\quad y_0=y(u_0,v_0),\quad z_0=z(u_0,v_0) $$
若 $x,y,z$ 在包含点 $P_0$ 的某邻域内有连续偏导数，且
$$ \left.\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0},\quad \left.\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0},\quad \left.\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0} $$
不同时为零，则曲面 $\Sigma$ 在 $P_0$ 处存在切平面。
其法向量为
$$ \mathbf{n} = \left. \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right) \right|_{P_0} $$
也可写为
$$ \mathbf{n} = \left. \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix} \right|_{P_0} $$
可得切平面方程为
$$ \left.\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0}(x-x_0) + \left.\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0}(y-y_0) + \left.\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0}(z-z_0) =0 $$
法线方程为
$$ \frac{x-x_0} {\left.\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0}} = \frac{y-y_0} {\left.\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0}} = \frac{z-z_0} {\left.\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|_{P_0}} $$
空间曲线
一般方程
空间曲线可以看作是两个曲面 $\Sigma_{1}$ 与 $\Sigma_{2}$ 的交线，设 $\Sigma_{1}$ 与 $\Sigma_{2}$ 的方程分别是 $F(x,y,z)=0$ 与 $G(x,y,z)=0$,则曲线 $\Gamma$ 上的点的坐标应该同时满足这两个方程即
$$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$$
故称该方程组为曲线 $\Gamma$ 的一般方程
参数方程
把曲线上的动点的坐标 $x,y,z$ 分别表示成参数 $t$ 的函数，即
$$ \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases},\quad t\in I $$
称该方程组为曲线的参数方程
空间曲线在坐标面上的投影
以空间曲线 $\Gamma$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴的柱面叫作 $\Gamma$ 对 $xOy$ 面的投影柱面。投影柱面与 $xOy$ 面的交线叫作 $\Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线。
研究由一般式方程消去变量 $z$ 之后所得到的方程
$$ H(x, y) = 0$$
由于当点 $M(x, y, z) \in \Gamma$ 时，其坐标 $x, y$ 满足一般式方程，而该方程是由一般式方程消去 $z$ 而得，故点 $M$ 的前两个坐标 $x, y$ 必满足该方程，因此，点 $M$ 应在 $H(x, y) = 0$ 所表示的柱面上，这说明柱面包含了曲线 $\Gamma$，从而柱面 $H(x, y) = 0$ 与 $xOy$ 面的交线
$$ \begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases} $$
包含了空间曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线，此投影曲线必满足该方程组。
类似地，消去一般式方程中的变量 $x$，得 $R(y, z) = 0$，再与 $x = 0$ 联立就得到包含 $\Gamma$ 在 $yOz$ 面上的投影曲线的曲线方程：
$$ \begin{cases} R(y, z) = 0 \\ x = 0 \end{cases} $$
消去一般式方程中的变量 $y$，得 $T(x, z) = 0$，再与 $y = 0$ 联立就得到包含 $\Gamma$ 在 $zOx$ 面上的投影曲线的曲线方程：
$$ \begin{cases} T(x, z) = 0 \\ y = 0. \end{cases} $$
空间立体/曲面在坐标面上的投影
转换成求边缘曲线的投影曲线
切线与法平面
参数方程表示的曲线
设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为
$$ x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),\quad \alpha\le t\le \beta $$
若记 $\mathbf{r}=(x,y,z)$，则曲线的向量形式为
$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k} $$
当 $x(t),y(t),z(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续时，曲线 $\Gamma$ 为一条连续曲线。
设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 与 $P_1(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)$ 是曲线 $\Gamma$ 上对应参数 $t_0$ 与 $t_0+\Delta t$ 的两点，则割线方程为
$$ \frac{x-x_0}{\Delta x} =\frac{y-y_0}{\Delta y} =\frac{z-z_0}{\Delta z} $$
也可写为
$$ \frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}} =\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}} =\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}} $$
当 $P_1$ 沿曲线趋近于 $P_0$，即 $\Delta t\to 0$ 时，割线的极限位置就是曲线在 $P_0$ 处的切线。
若 $x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)$ 不全为零，则向量
$$ \mathbf{T}(t_0)=\left(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\right) $$
是切线的方向向量，称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切向量。
因此，曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切线方程为
$$ \frac{x-x_0}{x'(t_0)} =\frac{y-y_0}{y'(t_0)} =\frac{z-z_0}{z'(t_0)} $$
若 $x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)$ 中有个别为零，则按空间解析几何中对称式方程的意义理解。
过点 $P_0$ 且与切线垂直的平面称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的法平面，其方程为
$$ x'(t_0)(x-x_0) +y'(t_0)(y-y_0) +z'(t_0)(z-z_0)=0 $$
一般方程表示的曲线
设空间曲线 $\Gamma$ 由两个曲面交线给出：
$$ \begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases} $$
其中 $F,G$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域内连续可微。
若
$$ \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{P_0}\ne 0 $$
则在 $P_0$ 附近可唯一确定隐函数
$$ y=y(x),\quad z=z(x) $$
因此曲线在 $P_0$ 处的切线方程可写为
$$ \frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{y'(x_0)} = \frac{z-z_0}{z'(x_0)} $$
对方程组两边关于 $x$ 求导：
$$ \begin{cases} F_x+F_y\dfrac{dy}{dx}+F_z\dfrac{dz}{dx}=0 \\ G_x+G_y\dfrac{dy}{dx}+G_z\dfrac{dz}{dx}=0 \end{cases} $$
由此得
$$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{P_0} = \left. \frac{\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}} {\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} \right|_{P_0} $$
$$ \left.\frac{dz}{dx}\right|_{P_0} = \left. \frac{\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}} {\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} \right|_{P_0} $$
故曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切线方程为
$$ \frac{x-x_0} {\left.\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{P_0}} = \frac{y-y_0} {\left.\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\right|_{P_0}} = \frac{z-z_0} {\left.\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{P_0}} $$
即
$$ \frac{x-x_0} {\left. \begin{vmatrix} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix} \right|_{P_0}} = \frac{y-y_0} {\left. \begin{vmatrix} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{vmatrix} \right|_{P_0}} = \frac{z-z_0} {\left. \begin{vmatrix} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{vmatrix} \right|_{P_0}} $$
对应的切向量为
$$ \mathbf{T} = \left( \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{P_0}, \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\right|_{P_0}, \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{P_0} \right) $$
相应的法平面方程为
$$ \left. \begin{vmatrix} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix} \right|_{P_0} (x-x_0) + \left. \begin{vmatrix} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{vmatrix} \right|_{P_0} (y-y_0) + \left. \begin{vmatrix} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{vmatrix} \right|_{P_0} (z-z_0) =0 $$