函数的连续性

定义

设 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 内有定义，给自变量 $x$ 以改变量 $\Delta x$, $x_{0}+\Delta x\in U(x_{0})$，对 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$,如果

$$ \lim_{ \Delta x \to 0 }\Delta y=\lim_{ \Delta x \to 0 }[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0 $$

即 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$，使得当 $|\Delta x|<\delta$ 时有 $|f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})|<\varepsilon$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$连续

性质

  1. 局部有界性：若 $f$ 在点 $x_{0}$ 连续，则 $f$ 在点 $x_{0}$ 的邻域 $U(x_{0})$ 有界
  2. 局部保号性：若 $f$ 在点 $x_{0}$ 连续，且 $f(x_{0})>0(<0)$，则对任何正数（负数）$r\in(0,f(x_{0}))(r\in(f(x_{0}),0))$，存在某 $U(x_{0})$，使得 $\forall x\in U(x_{0})$ 有 $f(x)>r>0(f(x)
  3. 连续函数的四则运算法则：若 $f(x),g(x)$ 均在点 $x_{0}$ 连续，则 $f(x)\pm g(x)$，$f(x)\cdot g(x)$，$\frac{f(x)}{g(x)}$，都在点 $x_{0}$ 连续
  4. 反函数的连续性：如果函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调连续，当 $x\in(a,b)$ 时，$y\in I$，则存在定义在区间 $I$ 上的反函数 $y=f^{-1}(x)$，且反函数也是严格单调连续的
  5. 复合函数的连续性：连续函数的复合函数仍然是连续函数

闭区间上的连续函数

定义

设函数 $f(x),x\in I$,对于 $x_{0}\in I,\forall x\in I$，若 $f(x)\leq f(x_{0})$，则称 $f(x_{0})$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大值，$x_{0}$ 为最大值点；若 $f(x)\geq f(x_{0})$，则称 $f(x_{0})$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最小值，$x_{0}$ 为最小值点

性质

  1. 最值定理：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $y=f(x)$ 在区间上取得最值，即存在 $\alpha,\beta\in[a,b]$ 使得 $\forall x\in[a,b]$ 均有 $f(\alpha)\leq f(x)\leq f(\beta)$
  2. 有界性定理：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
  3. 零点定理：设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ 则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi)=0$
  4. 介值定理：设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\neq f(b)$,则对介于 $f(a),f(b)$ 之间的任意一个数 $A$，总存在 $\xi\in[a,b]$，使 $f(\xi)=A$
  5. 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值
  6. 闭区间上不为常数的连续函数把该闭区间映射为闭区间

间断点及分类

定义

若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 不连续，则称 $x_{0}$ 为函数的间断点

分类

  1. 第一类间断点：左右极限均存在的间断点
  2. 可去间断点：左右极限存在且相等
  3. 跳跃间断点：左右极限存在但不相等
  4. 第二类间断点：非第一类间断点统称为第二类间断点
  5. 无穷间断点：若

$$ \lim_{ x \to x_{0}}f(x)=\infty $$

则称 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的无穷间断点
2. 振荡间断点：如对 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$，当 $x\to 0$ 时，函数值在 $-1$ 和 $1$ 之间无限次变动，此时称 $x=0$ 是函数的振荡间断点

单调性与极值

单调性

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导

  1. 如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\geq 0$，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增
  2. 如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\leq 0$，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减

极值

第一充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $U(x_{0})$ 内连续，在 $\mathring{U}(x_{0})$ 内可导，且 $\forall x \in U(x_{0})$

  1. 若 $x0$;$x>x_{0}$ 时，$f'(x)<0$,则 $x_{0}$ 是极大值点
  2. 若 $xx_{0}$ 时，$f'(x)>0$,则 $x_{0}$ 是极小值点
  3. 如果在点 $x_{0}$ 的两侧，$f'(x)$ 保持同号，则 $f(x)$ 单调，$x_{0}$ 不是极值点

第二充分条件

设函数 $f(x_{0})$ 在 $x_{0}$ 处具有二阶导数且 $f'(x_{0})=0$，$f''(x_{0})\neq 0$，则

  1. 当 $f''(x_{0})>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极小值
  2. 当 $f''(x_{0})<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极大值

推广：
若函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处存在 $n$ 阶导数，且 $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\cdots=f^{(n-1)}(x_{0})=0$,但 $f^{(n)}(x_{0})\neq 0$，则

  1. 当 $n$ 是奇数时，$x_{0}$ 不是函数的极值点
  2. 当 $n$ 是偶数时，$x_{0}$ 是函数的极值点，此时若 $f^{(n)}(x_{0})>0$,则 $x_{0}$ 是极小值点；此时若 $f^{(n)}(x_{0})《0$,则 $x_{0}$ 是极大值点

最值

连续函数在区间内有唯一极大（小）值，则该极大（小）值为函数的最大（小）值

曲线的凸性

定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若对 $I$ 上任意两点 $x_{1},x_{2}$ 和任意实数 $\lambda \in(0,1)$ 总有 $f[\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}]\leq\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})$ 则称 $f$ 为区间 $I$ 上的下凸函数，称曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是下凸的，反之若总有 $f[\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}]\geq\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})$ 则称 $f$ 为区间 $I$ 上的上凸函数，称曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是上凸的

定理

  1. 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上可导，则 $f$ 在区间 $I$ 上下凸（上凸）的充要条件是 $f'(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增（递减）
  2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有二阶导数，那么
  3. 若在 $(a,b)$ 内 $f''(x)>0$,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是下凸的
  4. 若在 $(a,b)$ 内 $f''(x)<0$,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是上凸的

渐进线

定义

若曲线 $C$ 上的动点 $P$ 沿着曲线地远离原点时，点 $P$ 与某一固定直线 $L$ 的距离趋于零，则称直线 $L$ 为曲线 $C$ 的渐近线，特别地

  1. 若

$$ \lim_{ x \to \infty }f(x)=A $$

则直线 $y=A$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条水平渐近线
2. 若

$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=\infty $$

则直线 $x=x_{0}$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条铅直渐近线
3. 若存在

$$ k=\lim_{ x \to \pm \infty } \frac{f(x)}{x},b=\lim_{ x \to \pm \infty }[f(x)-kx] $$

则 $y=kx+b$ 是 $y=f(x)$ 的渐近线