定义

设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一个非空子集，从 $D$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的一个映射 $f$ 称为定义在 $D$ 上的一个二元函数，记作

$$ f:D\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\quad 或\quad (x,y)\mapsto z=f(x,y),(x,y)\in D $$

类似可得，如果设 $V$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一个非空子集，从 $V$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的一个映射 $f$ 称为定义在 $D$ 上的一个三元函数

一般地，$n$ 元函数可写作

$$ y=f(P)=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),P(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in\Omega \subseteq \mathbb{R}^n $$

多元函数的极限

定义

设 $f$ 是定义在 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上的一个二元函数，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点。若存在常数 $A$，使得 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当点 $P(x, y) \in \mathring{U}(P_0, \delta) \cap D$ 时，有 $|f(x, y) - A| < \varepsilon$ 成立，则称 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当点 $P(x, y)$ 趋近于 $P_0(x_0, y_0)$ 时的极限，记作

$$ \lim_{P \to P_0} f(x, y) = A $$

或

$$ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A $$

也记为

$$ \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) = A $$

称此极限为二重极限

如果对于任意的 $y \neq y_0$，

$$ \lim_{x \to x_0} f(x, y) = \varphi(y) $$

进一步，若

$$ \lim_{y \to y_0} \varphi(y) $$

存在，则称它为先 $x \to x_0$，后 $y \to y_0$ 时 $f(x, y)$ 的二次极限（也称为累次极限），记为

$$ \lim_{y \to y_0} [\lim_{x \to x_0} f(x, y)] $$

多元函数的连续性

定义

设 $z=f(x,y)$ 是定义在 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上的二元函数，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点且 $P_0(x_0, y_0) \in D$，如果

$$ \lim_{P \to P_0} f(x, y) = f(x_0, y_0) $$

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 连续，$P_0(x_0, y_0)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的连续点；否则称 $f(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 是间断的，$P_0(x_0, y_0)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的间断点

有界性：有界闭区域上的多元连续函数在此闭区域上是有界的。
最大值最小值定理：有界闭区域上的多元连续函数在此闭区域上必存在最大值和最小值。
介值定理：有界闭区域上的多元连续函数，对于介于其最大值 $M$ 和最小值 $m$ 之间的任意值 $\mu$，必存在闭区域上的一点 $P_0(x_0, y_0)$，使得 $f(x_0, y_0) = \mu$
设 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义。如果 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，若 $\forall P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2) \in D$，当 $|P_1P_2|<\delta$ 时，总有 $|f(P_1)-f(P_2)|<\varepsilon$ 成立，则称 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 上一致连续。
即 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，$\forall P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2) \in D$，当

$$ \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} < \delta \quad (\text{或 } |x_1-x_2|<\delta, \ |y_1-y_2|<\delta) $$

时，都有 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon$，则称 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 上一致连续。

一致连续性：设 $D \subset \mathbf{R}^2$ 为有界闭区域，若 $f(x,y)$ 是 $D$ 上的连续函数，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上一致连续。

偏导数

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。当固定 $y=y_0$，而 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量时，函数相应的取得增量

$$ \Delta_x z = f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0), $$

称其为函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏增量。
若极限

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处关于变量 $x$ 的偏导数，记作

$$ \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}, \quad \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}, \quad z_x(x_0,y_0) \text{ 或 } f_x(x_0,y_0) \text{ 等}. $$

几何意义

设 $z=f(x,y)$ 表示空间中的一个曲面，若固定 $y=y_0$，则

$$ \begin{cases} z=f(x,y), \\ y=y_0 \end{cases} $$

表示平面 $y=y_0$ 与曲面 $z=f(x,y)$ 的交线，此交线位于平面 $y=y_0$ 上，$M(x_0, y_0, z_0)$ ($z_0=f(x_0, y_0)$) 为曲面上的点。由偏导数的定义知，$f_x(x_0, y_0)$ 等于一元函数 $f(x, y_0)$ 在 $x=x_0$ 处的导数。由一元函数中导数的几何意义知，$f_x(x_0, y_0)$ 在几何上表示曲线

$$ \begin{cases} z=f(x,y), \\ y=y_0 \end{cases} $$

在点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 处的切线 $T_x$ 对 $x$ 轴的斜率。

同理，偏导数 $f_y(x_0, y_0)$ 在几何上表示曲线

$$ \begin{cases} z=f(x,y), \\ x=x_0 \end{cases} $$

在点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 处的切线 $T_y$ 对 $y$ 轴的斜率。

多元复合函数的求导法则

一个自变量

设 $z=f(u,v),u=u(t),v=v(t)$ 如果 $u=u(t),v=v(t)$ 在点 $t$ 处可导，函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处有连续偏导数，则复合函数 $z=f[u(t),v(t)]$ 在 $t$ 处可导，且有

$$ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{d u}{d t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{d v}{d t} $$

三元及以上情形同理

多个自变量

设 $z=f(u,v),u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在，函数 $z=f(u,v)$ 在点 $(u,v)$ 处有连续偏导数，则复合函数 $z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在，且

$$ \begin{aligned} \frac{ \partial z }{ \partial x } = \frac{ \partial z }{ \partial u } \frac{ \partial u }{ \partial x } +\frac{ \partial z }{ \partial v } \frac{ \partial v }{ \partial x } \\ \frac{ \partial z }{ \partial y } =\frac{ \partial z }{ \partial u } \frac{ \partial u }{ \partial y } +\frac{ \partial z }{ \partial v } \frac{ \partial v }{ \partial y } \end{aligned} $$

三元及以上情形同理

高阶偏导数

设 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内可偏导，其偏导数 $\frac{ \partial z }{ \partial x }=f_{x}(x,y),\frac{ \partial z }{ \partial y }=f_{y}(x,y)$ 仍是二元函数，设 $h(x,y)=\frac{ \partial z }{ \partial x },g(x,y)=\frac{ \partial z }{ \partial y }$ ，若 $h,g$ 可偏导，则有

$$ \begin{aligned} \frac{ \partial h }{ \partial x } =\frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial z }{ \partial x } \right),\frac{ \partial h }{ \partial y } =\frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial z }{ \partial x } \right) \\ \frac{ \partial g }{ \partial x } =\frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial z }{ \partial x } \right),\frac{ \partial g }{ \partial y } =\frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial z }{ \partial x } \right) \end{aligned} $$

称其为 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数，记作

$$ \begin{aligned} &f_{xx}=\frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial z }{ \partial x } \right)=\frac{ \partial^2 z }{ \partial x^2 }\\ &f_{xy}=\frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial z }{ \partial x } \right)=\frac{ \partial^2 z }{ \partial x\partial y }\\ &f_{yx}=\frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial z }{ \partial y } \right)=\frac{ \partial^2 z }{ \partial y\partial x }\\ &f_{yy}=\frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial z }{ \partial y } \right)=\frac{ \partial^2 z }{ \partial y^2 } \end{aligned} $$

称 $\frac{ \partial^2 z }{ \partial x^2 },\frac{ \partial^2 z }{ \partial y^2 }$ 为函数 $z=f(x,y)$ 关于 $x,y$ 的二阶偏导数，$\frac{ \partial^2 z }{ \partial x\partial y },\frac{ \partial^2 z }{ \partial y\partial x }$ 为函数 $z=f(x,y)$ 关于 $x,y$ 的二阶混合偏导数

如果函数 $z=f(x,y)$，在 $(x_{0},y_{0})$ 处的二阶混合偏导数 $f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y)$ 连续，则 $f_{xy}(x_{0},y_{0}) = f_{yx}(x_{0},y_{0})$，更高阶偏导数同理

同理可定义三阶基三阶以上的各阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

隐函数求导法则

一个方程的情形

设二元函数 $F(x, y)$ 满足条件：

$F(x_0, y_0) = 0$，$F_y(x_0, y_0) \neq 0$
在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有连续偏导数
则方程 $F(x, y) = 0$ 在 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域中唯一确定了一个具有连续导数的函数 $y = f(x)$，它满足 $y_0 = f(x_0)$ 及 $F[x, f(x)] \equiv 0$，且

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y} $$

设三元函数 $F(x, y, z)$ 满足条件：

$F(x_0, y_0, z_0) = 0$，$F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$，
在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域内，$F_x$、$F_y$、$F_z$ 存在且连续
则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域内唯一确定一个连续且有连续偏导数的二元函数 $z = f(x, y)$，满足 $F[x, y, f(x, y)] \equiv 0$，且 $z_0 = f(x_0, y_0)$，其偏导数为

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} $$

方程组的情形

设函数 $F(x, y, u, v)$，$G(x, y, u, v)$ 满足条件：

在点 $P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一邻域内，$F(x, y, u, v)$、$G(x, y, u, v)$ 具有一阶连续偏导数
$F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$，$G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$
由偏导数组成的行列式（称为雅可比行列式）

$$ J = \left. \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} \right|_{P_0} = \begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix}_{P_0} \neq 0, $$

则方程组 $F(x, y, u, v) = 0$，$G(x, y, u, v) = 0$ 在点 $P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某邻域内唯一确定了两个具有连续偏导数的二元隐函数 $u = u(x, y)$，$v = v(x, y)$，它满足条件 $u_0 = u(x_0, y_0)$，$v_0 = v(x_0, y_0)$，且

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}, $$

$$ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)} $$

下面证明上述公式：
设

$$ \begin{cases} F(x, y, u, v) = 0, \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases} $$

能唯一地确定一组有连续偏导数的隐函数组 $u = u(x, y)$，$v = v(x, y)$。对方程组中的各方程式两边关于 $x$ 求偏导数，得

$$ \begin{cases} F_x + F_u u_x + F_v v_x = 0, \\ G_x + G_u u_x + G_v v_x = 0, \end{cases} $$

即有

$$ \begin{cases} F_u u_x + F_v v_x = -F_x, \\ G_u u_x + G_v v_x = -G_x. \end{cases} $$

该方程组是关于 $u_{x},v_{x}$ 的线性方程组，若

$$ J=\left.\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (u,v) }\right|_{P_{0}} = \begin{vmatrix}F_{u} & F_{v} \\G_{u} & G_{v}\end{vmatrix}\neq 0 $$

由解线性方程组的克拉默法则，有

$$ \begin{aligned} &u_{x}=\frac{\begin{vmatrix}-F_{x} & F_{v} \\ -G_{x} & G_{v}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v}\end{vmatrix}}=-\frac{\begin{vmatrix}F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v}\end{vmatrix}}=-\frac{\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (x,v) }}{\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (u,v) } }=-\frac{1}{J}\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (x,v) } \\ &v_{x}=\frac{\begin{vmatrix}F_{u} & -F_{x} \\ G_{u} & -G_{x}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v}\end{vmatrix}}=-\frac{\begin{vmatrix}F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v}\end{vmatrix}}=-\frac{\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (u,x) }}{\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (u,v) } }=-\frac{1}{J}\frac{ \partial (F,G) }{ \partial (u,x) } \end{aligned} $$

同理，关于 $y$ 的偏导数：

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}, \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)} $$

全微分

定义

若函数 $z=f(x,y)$ 在其定义域的内点 $(x_{0},y_{0})$ 的全增量可表示为

$$ \Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) $$

其中 $A, B$ 是不依赖于 $\Delta x, \Delta y$，而仅与点 $(x_0, y_0)$ 有关的两个常数，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处是可微分的，称 $A\Delta x + B\Delta y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的全微分，记作 $dz = A\Delta x + B\Delta y$

可微 $\Rightarrow$ 连续
可微 $\Rightarrow$ 可偏导
一阶偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微

方向导数

定义

设点 $P_{0}(x_{0},y_{0})\in \mathbb{R}^2$，$\boldsymbol{l}$ 是平面上的一非零向量，其单位向量为 $\boldsymbol{e_{l}}=\cos\alpha \boldsymbol{i}+\cos\beta \boldsymbol{j}$，函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}$ 的某邻域内有定义，$P_{0}$ 为平行于向量 $\boldsymbol{l}$ 的直线 $L$ 上的定点，若极限

$$ \lim_{ t \to 0 } \frac{f(x_{0}+t\cos\alpha,y_{0}+t\cos\beta)-f(x_{0},y_{0})}{t} $$

存在，则称此极限值为函数 $z=f(x,y)$ 在直线 $L$ 上的点 $P_{0}$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数，记作

$$ \left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} }\right|_{P_{0}}=\lim_{ t \to 0 } \frac{f(x_{0}+t\cos\alpha,y_{0}+t\cos\beta)-f(x_{0},y_{0})}{t} $$

由导数的含义知，方向导数 $\left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} }\right|_{P_{0}}$ 就是函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}$ 处沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的变化率，特别地，若 $\boldsymbol{e_{l}}=\boldsymbol{i}=(1,0)$，则

$$ \left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} }\right|_{P_{0}}=\lim_{ t \to 0 } \frac{f(x_{0}+t,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{t}=\left.\frac{ \partial f }{ \partial x } \right|_{P_{0}} $$

若 $\boldsymbol{e_{l}}=\boldsymbol{j}=(0,1)$

$$ \left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} }\right|_{P_{0}}=\lim_{ t \to 0 } \frac{f(x_{0},y_{0}+t)-f(x_{0},y_{0})}{t}=\left.\frac{ \partial f }{ \partial y } \right|_{P_{0}} $$

可见，方向导数是偏导数的推广

同时方向导数的概念还可以推广到 $n$ 元函数 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$，设 $P_{0}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})\in \mathbb{R}^2$，$\boldsymbol{e_{l}}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中某个单位向量，$\boldsymbol{e_{l}}=(\cos\theta_{1},\cos\theta_{2},\dots,\cos\theta_{n})$，若函数在 $P_{0}$ 处的极限

$$ \lim_{ t \to 0 } \frac{f(x_{1_{0}}+t\cos\theta_{1},x_{2_{0}}+t\cos\theta_{2},\dots,x_{n_{0}}+t\cos\theta_{n})-f(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})}{t} $$

存在，则称此极限为 $n$ 元函数 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 在点 $P_{0}$ 处沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数

定理

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 处可微，则对任一单位向量 $\boldsymbol{e_{l}}=\cos\alpha \boldsymbol{i}+\cos\beta \boldsymbol{j}$，函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数存在，且

$$ \left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} } \right|_{P_{0}}=f_{x}(x_{0},y_{0})\cos\alpha+f_{y}(x_{0},y_{0})\cos\beta $$

对于 $n$ 元函数 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$，亦有

$$ \left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} } \right|_{P_{0}}=\sum^n_{k=1} f_{x_{k}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})\cos\theta_{k} $$

梯度

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可偏导，则称向量 $f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的梯度，记作 $\operatorname{grad} f(x_0,y_0)$，或 $\nabla f(x_0,y_0)$。其中 $\nabla$ 称为 Nabla 算符，也称为向量微分算子，即

$$ \boldsymbol{\operatorname{grad}} f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\mathbf{i} + f_y(x_0,y_0)\mathbf{j} = \nabla f(x_0,y_0) $$

设

$$ \mathbf{e}_l=\cos\alpha\,\mathbf{i}+\cos\beta\,\mathbf{j} $$

则

$$ \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = \boldsymbol{\operatorname{grad}} f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{e}_l = \nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{e}_l $$

即函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处沿方向 $l$ 的方向导数等于该点处的梯度与单位向量的数量积。

由

$$ \boldsymbol{\operatorname{grad}} f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{e}_l = |\boldsymbol{\operatorname{grad}} f(x_0,y_0)|\cdot |\mathbf{e}_l|\cos\theta $$

其中 $\theta$ 为向量 $\operatorname{grad} f(x_0,y_0)$ 与单位向量 $\mathbf{e}_l$ 间的夹角。可知：

当 $\cos\theta=1$ 时，即 $l$ 的方向与 $\operatorname{grad} f(x_0,y_0)$ 的方向一致时，方向导数取得最大值
当 $\cos\theta=-1$ 时，即 $l$ 的方向与梯度的方向相反时，方向导数取得最小值

梯度的概念也可推广到 $n$ 元函数中去。

若 $n$ 元函数 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 在 $P_0(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})$ 处可偏导，则向量

$$ (f_{x_{1}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}}),f_{x_{2}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}}),\dots,f_{x_{n}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})) $$

称为函数 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$，在 $P_0(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})$ 的梯度，记作 $\boldsymbol{\operatorname{grad}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}$ 或 $\nabla f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

且 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 在点 $P_{0}$ 处沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数为

$$ \left.\frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{l} }\right|_{P_{0}} = \boldsymbol{\operatorname{grad}} f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) \cdot \boldsymbol{e}_{l} $$

运算法则

$c_1,c_2$ 为常数，函数 $u,v,f$ 可微：

$\boldsymbol{\operatorname{grad}}(c_1u+c_2v)=c_1\operatorname{grad}u+c_2\operatorname{grad}v$
$\boldsymbol{\operatorname{grad}}(uv)=u\boldsymbol{\operatorname{grad}}v+v\boldsymbol{\operatorname{grad}}u$
$\boldsymbol{\operatorname{grad}}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\boldsymbol{\operatorname{grad}}u-u\boldsymbol{\operatorname{grad}}v}{v^2},\quad v\ne 0$
$\boldsymbol{\operatorname{grad}}f(u)=f'(u)\boldsymbol{\operatorname{grad}}u$

二元函数的泰勒公式

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有直到 $n+1$ 阶的连续偏导数，则对该邻域内任一点 $(x_0+h,y_0+k)$，有

$$ \begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)&=\sum^n_{m=0} \frac{1}{m!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x_0,y_0) \\ &+\frac{1}{(n+1)!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \end{aligned} $$

其中 $0<\theta<1$。

算子展开

$$ \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x_0,y_0) = \sum_{i=0}^{m} C_m^i h^i k^{m-i} \left. \frac{\partial^m f}{\partial x^i\partial y^{m-i}} \right|_{P_0} $$

该式称为二元函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处带有拉格朗日型余项的泰勒公式。

推导思路

令

$$ \varphi(t)=f(x_0+th,y_0+tk),\quad 0\le t\le 1 $$

则

$$ \varphi(0)=f(x_0,y_0),\quad \varphi(1)=f(x_0+h,y_0+k) $$

由一元函数的泰勒公式，有

$$ \varphi(1) = \varphi(0)+\varphi'(0)+\frac{1}{2!}\varphi''(0)+\cdots+\frac{1}{n!}\varphi^{(n)}(0) +\frac{1}{(n+1)!}\varphi^{(n+1)}(\theta) $$

其中 $0<\theta<1$。

由复合函数求导法则：

$$ \varphi^{(m)}(t) = \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(x_0+th,y_0+tk) $$

因此可得二元函数的泰勒公式。

二元函数的中值公式

当 $n=0$ 时，有

$$ f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0) = f_x(x_0+\theta h,y_0+\theta k)h + f_y(x_0+\theta h,y_0+\theta k)k $$

其中 $0<\theta<1$。

二元函数的麦克劳林公式

令 $x_0=0,\ y_0=0$，得

$$ f(x,y)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^k f(0,0)+\frac{1}{(n+1)!} \left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1}f(\theta x,\theta y) $$

其中 $0<\theta<1$。

多元函数的极值与最值

极值问题

多元函数的最值问题是整体性问题，极值问题是局部性问题，二者有密切联系。
多元函数的极值分为两类：

无条件极值：自变量可在定义域内自由变化
条件极值：自变量除受定义域限制外，还受某些条件限制

无条件极值与函数的最值

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有定义。
若对任一点 $P(x,y)\in U(P_0)$，都有

$$ f(x,y)\le f(x_0,y_0) $$

则称 $f(x_0,y_0)$ 为函数 $f(x,y)$ 的极大值，点 $P_0(x_0,y_0)$ 称为极大值点。
若对任一点 $P(x,y)\in U(P_0)$，都有

$$ f(x,y)\ge f(x_0,y_0) $$

则称 $f(x_0,y_0)$ 为函数 $f(x,y)$ 的极小值，点 $P_0(x_0,y_0)$ 称为极小值点。
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
极值点一定是函数定义域的内点。

极值的必要条件

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处取得极值，且 $f(x,y)$ 在该点可偏导，则有

$$ f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 $$

点 $P_0(x_0,y_0)$ 称为函数 $f(x,y)$ 的驻点，也称为临界点。
可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。
若 $n$ 元函数 $u=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 在点 $P_0(x_{1_{0}},x_{2_{0}},\dots,x_{n_{0}})$ 处具有偏导数且在该点取得极值，则有

$$ \begin{aligned} f_{x_{1}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},&\dots,x_{n_{0}})=0 \\ f_{x_{2}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},&\dots,x_{n_{0}})=0 \\ &\dots \\ f_{x_{n}}(x_{1_{0}},x_{2_{0}},&\dots,x_{n_{0}})=0 \end{aligned} $$

极值的充分条件

设函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的邻域内存在二阶连续偏导数，且

$$ f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 $$

记

$$ A=f_{xx}(x_0,y_0),\quad B=f_{xy}(x_0,y_0),\quad C=f_{yy}(x_0,y_0) $$

则：

当 $AC-B^2>0$ 时，$P_0(x_0,y_0)$ 是极值点：
- 若 $A>0$，则 $P_0$ 是极小值点
- 若 $A<0$，则 $P_0$ 是极大值点
当 $AC-B^2<0$ 时，$P_0(x_0,y_0)$ 不是极值点
当 $AC-B^2=0$ 时，不能判定 $P_0(x_0,y_0)$ 是否为极值点

求极值的一般步骤

解方程组

$$ f_x(x,y)=0,\quad f_y(x,y)=0 $$

求出函数 $f(x,y)$ 的所有驻点。
2. 对每个驻点求二阶偏导数

$$ A=f_{xx},\quad B=f_{xy},\quad C=f_{yy} $$

判断 $AC-B^2$ 的符号：
- $AC-B^2>0$：有极值，再由 $A$ 的符号判断极大值或极小值
- $AC-B^2<0$：无极值
- $AC-B^2=0$：需另行讨论

条件极值

在无条件极值中，函数的自变量可以自由变化；若自变量还受到某些条件限制，则称为条件极值问题，也称为约束极值问题。
例如在约束条件

$$ \varphi(x,y)=0 $$

下求函数

$$ z=f(x,y) $$

的极值，就是求函数 $f(x,y)$ 在曲线 $\varphi(x,y)=0$ 上的极值。

必要条件

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处取得条件极值，约束条件为

$$ \varphi(x,y)=0 $$

若由约束条件可确定隐函数 $y=y(x)$，则目标函数可化为一元函数

$$ z=f(x,y(x)) $$

由一元函数极值的必要条件，有

$$ \frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0 $$

又由约束条件

$$ \varphi(x,y(x))=0 $$

两边对 $x$ 求导，得

$$ \varphi_x+\varphi_y\frac{dy}{dx}=0 $$

因此

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{\varphi_x}{\varphi_y} $$

代入可得

$$ f_x\varphi_y-f_y\varphi_x=0 $$

即

$$ \frac{f_x}{\varphi_x}=\frac{f_y}{\varphi_y} $$

该式说明，在条件极值点处，目标函数与约束函数的梯度方向平行。

拉格朗日乘数法

为求函数

$$ z=f(x,y) $$

在约束条件

$$ \varphi(x,y)=0 $$

下的条件极值，可引入拉格朗日函数

$$ F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y) $$

其中 $\lambda$ 称为拉格朗日乘数。
条件极值点应满足方程组

$$ \begin{cases} F_x=f_x+\lambda\varphi_x=0 \\ F_y=f_y+\lambda\varphi_y=0 \\ F_\lambda=\varphi(x,y)=0 \end{cases} $$

解该方程组，可得到可能的条件极值点。

三元函数的拉格朗日乘数法
求函数

$$ u=f(x,y,z) $$

在约束条件

$$ \varphi(x,y,z)=0 $$

下的条件极值时，构造拉格朗日函数

$$ F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z) $$

其必要条件为

$$ \begin{cases} F_x=f_x+\lambda\varphi_x=0 \\ F_y=f_y+\lambda\varphi_y=0 \\ F_z=f_z+\lambda\varphi_z=0 \\ F_\lambda=\varphi(x,y,z)=0 \end{cases} $$

解该方程组，得到可能的条件极值点。

多个约束条件

若目标函数为

$$ u=f(x,y,z) $$

约束条件为

$$ \varphi(x,y,z)=0,\quad \psi(x,y,z)=0 $$

则构造

$$ F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z) $$

必要条件为

$$ \begin{cases} F_x=0 \\ F_y=0 \\ F_z=0 \\ F_\lambda=\varphi(x,y,z)=0 \\ F_\mu=\psi(x,y,z)=0 \end{cases} $$

求条件极值的一般步骤

根据目标函数和约束条件构造拉格朗日函数

$$ F=f+\lambda\varphi $$

或

$$ F=f+\lambda\varphi+\mu\psi $$

对所有自变量和乘数求偏导，并令其为零，建立方程组。
解方程组，求出可能的条件极值点。
将候选点代入目标函数，结合题意比较函数值，确定最大值或最小值。

最小二乘法

在生产实践中，常需要根据测量数据找出变量之间的函数关系，通常称为配曲线或经验公式。
设实验得到一组数据

$$ (x_i,y_i),\quad i=1,2,\cdots,n $$

要求寻找一个适当的函数

$$ y=f(x) $$

使得 $f(x_i)$ 与实验数据 $y_i$ 在某种尺度下最接近，这类问题称为曲线拟合问题。
常用方法是直线拟合，即用线性函数近似：

$$ y=ax+b $$

偏差与总偏差

设

$$ \varepsilon_i=y_i-ax_i-b $$

表示用直线 $y=ax+b$ 近似数据时在第 $i$ 个点产生的偏差。
所有偏差平方和为

$$ \varepsilon(a,b) = \sum_{i=1}^{n}\varepsilon_i^2 = \sum_{i=1}^{n}(y_i-ax_i-b)^2 $$

最小二乘法就是选择 $a,b$，使总偏差 $\varepsilon(a,b)$ 取得最小值。

正规方程组

由极值必要条件

$$ \frac{\partial \varepsilon}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial \varepsilon}{\partial b}=0 $$

得

$$ \begin{cases} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)a+\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)b=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i \\ \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)a+nb=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \end{cases} $$

该方程组称为最小二乘法的正规方程组。

系数公式

解正规方程组，可得

$$ a= \frac{ n\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i - \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right) \left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\right) }{ n\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)^2 } $$

$$ b= \frac{ \left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\right) \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right) - \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right) \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right) }{ n\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)^2 } $$

因此，拟合直线为

$$ y=ax+b $$