质点运动学

位置矢量（位矢）

表示质点在空间的位置，是从原点 $O$ 指向质点所在位置 $P$ 的有向线段

$$\boldsymbol{r}=\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$$

大小为

$$r=|\boldsymbol{r}|=\sqrt[]{ x^2+y^2+z^2 }$$

运动学方程

位矢是时间 $t$ 的函数即

$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)=x(t)\boldsymbol{i}+y(t)\boldsymbol{j}+z(t)\boldsymbol{k}$$

该式称为运动学方程（也称运动表达式）

轨迹方程

质点在直角坐标系中的位置坐标 $(x,y,z)$ 也是时间 $t$ 的函数，即

$$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}$$

该式称为质点运动学方程的分量式，如果消去时间参量 $t$ 便可得到质点运动的轨迹方程

位移与路程

从质点在 $\Delta t$ 这一段时间内的运动的起始点指向终点的有向线段称为在 $\Delta t$ 时间内的位移，用 $\Delta \boldsymbol{r}$ 表示

在直角坐标系 $Oxyz$ 中，位移可表示为

$$\Delta \boldsymbol{r}=\Delta x\boldsymbol{i}+\Delta y\boldsymbol{j}+\Delta z\boldsymbol{k}$$

大小为

$$|\boldsymbol{r}|=\sqrt[]{ \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 }$$

质点在 $\Delta t$ 这一段时间内的运动的实际轨迹的长度称为在 $\Delta t$ 时间内的路程

在时间 $\Delta t$ 趋近于零时，常称无限小的路程为元路程，记为$ds$，常称无限小的位移为元位移，记为$d\boldsymbol{r}$

速度与速率

速度是描述物体运动快慢和运动方向的物理量

平均速度为在 $\Delta t$ 这一段时间内的运动的位移 $\Delta \boldsymbol{r}$ 和时间间隔 $\Delta t$ 的比值，用 $\bar{\boldsymbol{v}}$ 表示，即

$$\bar{\boldsymbol{v}}= \frac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta t}$$

平均速率为在 $\Delta t$ 这一段时间内的运动的路程 $\Delta s$ 和时间间隔 $\Delta t$ 的比值，用 $\bar{v}$ 表示，即

$$\bar{v}= \frac{\Delta s}{\Delta t}$$

平均速度的极限称为瞬时速度，简称速度，用 $\boldsymbol{v}$ 表示，即

$$\boldsymbol{v}=\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta t}= \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$$

平均速率的极限称为瞬时速率，用 $v$ 表示，即

$$v=\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{\Delta s}{\Delta t}= \frac{ds}{dt}$$

加速度

加速度是描述各个时刻速度矢量随时间变化的物理量

与平均速度的定义类似，平均加速度定义为

$$\bar{\boldsymbol{a}}=\frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t}$$

平均加速度的极限称为瞬时加速度，简称加速度，用 $\boldsymbol{a}$ 表示，即

$$\boldsymbol{a}=\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t}=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}$$

自然坐标系

自然坐标系是研究质点曲线运动时建立的一种随运动轨迹变化的坐标系。该坐标系以质点所在位置为原点，以运动轨迹在该点的切线方向作为切向单位矢量，用 $\boldsymbol{e}_{t}$ 表示，以指向曲率中心的法线方向作为法向单位矢量，用 $\boldsymbol{e}_{n}$ 表示，从而形成一组互相垂直的基向量。

切向加速度和法向加速度

在自然坐标系中，质点的速度可以表示为

$$\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_t$$

对速度矢量关于时间求导得到加速度

$$\boldsymbol{a}=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\boldsymbol{e}_t+v\frac{d\boldsymbol{e}_t}{dt}$$

其中，第一项 $\frac{dv}{dt}\boldsymbol{e}_t$ 来源于速度大小随时间的变化，其方向沿轨迹切线方向，因此称为切向加速度，大小为

$$\boldsymbol{a}_t=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\boldsymbol{e}_{t}$$

第二项 $v\frac{d\boldsymbol{e}_t}{dt}$ 来源于单位切向量方向随时间的变化，而单位切向量的变化方向指向轨迹的法线方向，进一步可得 $\frac{d\boldsymbol{e}_t}{dt}=\frac{v}{\rho}\boldsymbol{e}_n$，于是得到法向加速度（又称向心加速度）

$$\boldsymbol{a}_n=\frac{v^2}{\rho}\quad(\rho 为曲率半径)$$

其方向指向曲率中心，用来描述速度方向的变化

圆周运动的角量表示

角位置

角位置是用来描述刚体或质点在圆周运动中相对于某一参考方向的方位量，通常用角度 $\theta$ 表示，表示从选定的初始参考方向旋转到当前位置所转过的角度

角位移

角位移则表示物体在一段时间内角位置的变化量，定义为末角位置与初角位置之差，即 $\Delta\theta=\theta_2-\theta_1$，它反映了物体在该时间间隔内绕转轴转过的角度大小及方向

有限大小的角位移是标量，无限小的角位移 $\Delta \boldsymbol{\theta}$ 是矢量，其方向由右手螺旋定则确定，即以右手四指弯曲的方向表示获得角速度的转向，则右手大拇指的指向就是无限小角位移的方向

与速度定义类似，角位移 $\Delta\theta$ 与时间间隔 $\Delta t$ 之比，称为在 $\Delta t$ 这段时间内质点对 $O$ 点的平均角速度，用 $\bar{\omega}$ 来表示，即

$$\bar{\omega}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$$

平均角速度的极限称为瞬时角速度，简称角速度，用 $\boldsymbol{\omega}$ 表示，即

$$\boldsymbol{\omega}=\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}$$

与加速度的定义类似，角速度的变化量 $\Delta\omega$ 与时间间隔 $\Delta t$ 之比，称为在 $\Delta t$ 这段时间内质点对 $O$ 点的平均角加速度，用 $\bar{\boldsymbol{\alpha}}$ 表示，即

$$\bar{\boldsymbol{\alpha}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}$$

平均角加速度的极限称为瞬时角加速度，简称角加速度，用 $\boldsymbol{\alpha}$ 表示，即

$$\boldsymbol{\alpha}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

角量与线量的关系

在质点绕定轴转动或质点作圆周运动时，各点的线量与角量之间存在确定关系。
设质点到转轴的距离为 $r$，则质点的线位移弧长与角位移满足

$$s=r\theta$$

对时间求导可得线速度与角速度的关系为

$$\boldsymbol{v}=r\boldsymbol{\omega}$$

再对时间求导可得切向加速度与角加速度的关系为

$$\boldsymbol{a}_t=r\boldsymbol{\alpha}$$

而法向加速度为

$$\boldsymbol{a}_n=\frac{\boldsymbol{v}^2}{r}=r\boldsymbol{\omega}^2$$