质心的位矢

对于 nn 个质点组成的系统，质心的位矢为

rc=m1r1+m2r2+⋯+mnrnm1+m2+…mn=∑imiri∑imi=∑imirim\boldsymbol{r}_{c}=\frac{m_{1}\boldsymbol{r}_{1}+m_{2}\boldsymbol{r}_{2}+\dots+m_{n}\boldsymbol{r}_{n}}{m_{1}+m_{2}+\dots m_{n}}=\frac{\sum_{i} m_{i}\boldsymbol{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}\boldsymbol{r}_{i}}{m}

对于质量连续分布的物体，求质心的位置时需要将上述求和方式改为积分形式，即

rc=∫rdmm\boldsymbol{r}_{c}=\frac{\int \boldsymbol{r}dm}{m}

质心的运动定理

质心的运动速度可由质心的位矢推导来

vc=drcdt\boldsymbol{v}_{c}=\frac{d\boldsymbol{r}_{c}}{dt}

同理加速度为

ac=dvcdt=d2rcdt2\boldsymbol{a}_{c}=\frac{d\boldsymbol{v}_{c}}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{r}_{c}}{dt^2}

由牛顿第二运动定律，对第 ii 个质点有

Fi外+Fi内=mid2ridt2\boldsymbol{F}_{i外}+\boldsymbol{F}_{i内}=\frac{m_{i}d^2\boldsymbol{r}_{i}}{dt^2}

其中Fi外\boldsymbol{F}_{i外}、Fi内\boldsymbol{F}_{i内}分别为第 ii 个质点受到的系统的外力与内力，再对 ii 求和，则有

∑iFi外+∑iFi内=∑imid2ridt2\sum_{i}\boldsymbol{F}_{i外}+\sum_{i}\boldsymbol{F}_{i内}=\sum_{i}\frac{m_{i}d^2\boldsymbol{r}_{i}}{dt^2}

由牛顿第三定律可知，系统内所有质点所受的内力之和为零，即

∑iFi内=0\sum_{i}\boldsymbol{F}_{i内}=0

所以有

F=∑iFi外=mac\boldsymbol{F}=\sum_{i}\boldsymbol{F}_{i外}=m\boldsymbol{a}_{c}

该式称为系统的质心运动定理。它表明：

  1. 一个质点系的质心的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量，并且集中在质心；而此质点所受的力是系统内各质点所受的所有外力的矢量和（实际上可能在质心位置处既无质量又未受力）
  2. 系统的内力不会影响质心的运动状态。若系统所受外力的矢量和为零，则质心将保持静止或做匀速直线运动
  3. 质点系内各个质点由于受内力和外力的作用，它们的运动情况可能是很复杂的，但是系统内有一个特殊的点，即质心，它的运动可能相当简单，只由系统所受的合外力决定