角动量

质点的角动量

角动量又称动量矩，常用符号 $\boldsymbol{L}$ 表示，描述质点要某个给定动点转动的一个物理量，定义式为

$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times m\boldsymbol{v}=\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}$$

由叉积定义知，$\boldsymbol{L}$ 的大小为

$$L=rmv\sin\theta=rp \sin\theta$$

其中 $\theta$ 为 $\boldsymbol{r}$ 和 $m\boldsymbol{v}$ 之间的夹角。当质点做圆周运动时，$\theta=\frac{\pi}{2}$，这时质点对圆心 $O$ 的角动量大小为

$$L=rmv=mr^2\omega$$

其方向与角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 的方向相同

力矩

从参考点 $O$ 到力的作用点 $P$ 的位矢 $\boldsymbol{r}$ 与力 $\boldsymbol{F}$ 的叉积，称为力 $F$ 对参考点的力矩，用符号 $\boldsymbol{M}$ 表示，即

$$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}$$

其大小为

$$M=F|\boldsymbol{r}|\sin\theta=Fr\sin\theta=Fd$$

其中 $d=r\sin\theta$，是参考点 $O$ 到力的作用线的垂直距离，称为力臂，所以力矩的大小就是力与力臂的乘积

角动量定理

$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times m\boldsymbol{v}$$

对时间求导得

$$\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\times m\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times \frac{d(m\boldsymbol{v})}{dt}$$

由于 $\boldsymbol{F}=\frac{d(m\boldsymbol{v})}{dt},\boldsymbol{v}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$，故可写为

$$\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}=\boldsymbol{v}\times m\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{v}\times m\boldsymbol{v}+\boldsymbol{M}$$

根据叉积性质得 $\boldsymbol{v}\times m\boldsymbol{v}=0$，于是有

$$\boldsymbol{M}=\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}$$

或

$$\boldsymbol{M}dt=d\boldsymbol{L}$$

与力的冲量类似,我们将 $Mdt$ 称为力矩在 $dt$ 时间内对质点的冲量矩,该式表明:作用于质点上合外力矩的冲量矩等于质点角动量的增量。这称为质点的角动量定理

将该式两边同时积分,可得角动量定理的积分形式为

$$\int_{t_0}^{t} Mdt = \int_{L_0}^{L} dL = L - L_0$$

角动量守恒定律

由角动量定理可知，若质点在运动过程中受到的合外力矩对某个给定参考点 $O$ 为零，则质点对该点的角动量保持不变（守恒）。
数学表达式：

$$\text{若 } \boldsymbol{M} = 0, \text{ 则 } \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v} = \text{常矢量}$$

力矩为零的两种情形：

1. 根据力矩定义 $\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$，力矩为零主要有以下两种情况：
   情形一：合力为零 ($\boldsymbol{F} = 0$)
   • 运动状态：质点做匀速直线运动
   • 守恒性质：不仅动量恒定，且对惯性系中任意参考点的角动量也恒定不变
2. 情形二：合力不为零，但作用线始终通过参考点 ($\boldsymbol{F} \neq 0$)
   • 物理图景：力的方向始终指向（或背离）某一固定点
   • 定义：这种力称为有心力
   • 结论：一切只受有心力作用的物体，其对于该“心”（力心）的角动量一定守恒