定义
给定一个数列
$$ \{u_n\} $$
由它构成的表达式
$$ u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots $$
称为常数项无穷级数，简称级数。
记作
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
其中 $u_n$ 称为级数的一般项或通项。
级数前 $n$ 项之和称为部分和，记为
$$ s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n $$
当 $n=1,2,3,\cdots$ 时，所有部分和构成一个新数列：
$$ \{s_n\} $$
称为部分和数列。
级数的收敛与发散
若部分和数列 $\{s_n\}$ 有极限 $s$，即
$$ \lim_{n\to\infty}s_n=s $$
则称级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛。
此时极限 $s$ 称为该级数的和，记作
$$ s=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
若部分和数列 $\{s_n\}$ 没有极限，则称级数发散。
基本性质
设级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
若去掉前 $n$ 项，则得到余项级数：
$$ u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+k}+\cdots = \sum_{k=n+1}^{\infty}u_k $$
去掉或增加有限项
级数去掉或增加有限项后，不改变其收敛性
若原级数收敛，和为 $s$，前 $n$ 项部分和为 $s_n$，则余项级数的和为
$$ r_n=s-s_n $$
并且
$$ \lim_{n\to\infty}r_n=0 $$
线性运算性质
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛，和为 $s$，则对任意常数 $k$，级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}ku_n $$
也收敛，且其和为
$$ ks $$
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n,\quad \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
分别收敛于 $s$ 与 $\sigma$，则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n) $$
也收敛，且其和为
$$ s\pm\sigma $$
加括号性质
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛，则将其任意若干项加括号后形成的新级数仍然收敛，且其和不变。
即若
$$ u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots $$
收敛，则
$$ (u_1+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots+u_{n_2})+\cdots $$
也收敛，且和相同。
注意：
- 原级数收敛，则加括号后的级数一定收敛
- 加括号后的级数发散，则原级数一定发散
- 加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛
收敛的必要条件
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛，则它的一般项必趋于零：
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=0 $$
但是
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=0 $$
原级数不一定收敛。
即一般项趋于零为级数收敛的必要条件，不是充分条件
柯西收敛准则
级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛的充分必要条件是：
对任意
$$ \varepsilon>0 $$
存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，对任意正整数 $p$，都有
$$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p}u_k \right| <\varepsilon $$
正项级数
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
中各项非负，即
$$ u_n\ge 0\quad(n=1,2,\cdots) $$
则称该级数为正项级数。
正项级数的部分和数列
$$ s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n $$
是单调递增数列。
因此，正项级数的收敛性可转化为部分和数列是否有上界。
$p$ 级数
称
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} = 1+\frac1{2^p}+\frac1{3^p}+\cdots+\frac1{n^p}+\cdots $$
为 $p$ 级数
其中
$$ p>0 $$
有结论：
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}
\begin{cases}
\text{发散},&0
审敛法
正项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有上界。
比较审敛法
设
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n,\quad \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
都是正项级数。
- 若从某一项开始，有
$$ 0\le u_n\le v_n $$
且
$$ \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
收敛，则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
也收敛。
2. 若从某一项开始，有
$$ u_n\ge v_n\ge 0 $$
且
$$ \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
发散，则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
也发散。
比较审敛法的关键是找一个已知收敛性的级数作为参照。
常用参照级数：
- 等比级数
$$ \sum_{n=0}^{\infty}aq^n $$
- 调和级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n $$
- $p$ 级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} $$
极限形式
设
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n,\quad \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
都是正项级数。
若当 $n\to\infty$ 时，
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=\lambda $$
则有以下结论。
- 若
$$ 0<\lambda<+\infty $$
则两个级数同敛散：
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n \quad\text{与}\quad \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
具有相同的收敛性。
2. 若
$$ \lambda=0 $$
且
$$ \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
收敛，则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛。
3. 若
$$ \lambda=+\infty $$
且
$$ \sum_{n=1}^{\infty}v_n $$
发散，则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
发散。
比值审敛法
设
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
为正项级数，若极限
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho $$
存在，则：
- 若
$$ \rho<1 $$
则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛。
2. 若
$$ \rho>1 $$
则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
发散。
3. 若
$$ \rho=1 $$
则比值审敛法失效，级数可能收敛，也可能发散。
根值审敛法
设
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
为正项级数，若极限
$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho $$
存在，则：
- 若
$$ \rho<1 $$
则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛。
2. 若
$$ \rho>1 $$
则
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
发散。
3. 若
$$ \rho=1 $$
则根值审敛法失效，级数可能收敛，也可能发散。
积分审敛法
设
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
为正项级数。
若存在定义在 $[1,+\infty)$ 上的非负、连续、单调递减函数 $f(x)$，使得
$$ u_n=f(n) $$
则级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
与反常积分
$$ \int_1^{+\infty}f(x)\,dx $$
具有相同的收敛性。
即：
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n\text{ 收敛} \Longleftrightarrow \int_1^{+\infty}f(x)\,dx\text{ 收敛} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n\text{ 发散} \Longleftrightarrow \int_1^{+\infty}f(x)\,dx\text{ 发散} $$
使用思路
判断正项级数时：
- 含有阶乘、指数幂，优先考虑比值审敛法。
- 含有 $n$ 次方结构，优先考虑根值审敛法。
- 通项类似函数值，且函数单调递减，可考虑积分审敛法。
- 若极限结果为 $1$，比值审敛法和根值审敛法通常失效，需要改用比较审敛法、极限比较法或积分审敛法。
任意项级数
交错级数
若级数各项正负交替，例如
$$ u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+(-1)^{n-1}u_n+\cdots $$
或
$$ -u_1+u_2-u_3+u_4+\cdots+(-1)^n u_n+\cdots $$
其中
$$ u_n>0\quad(n=1,2,\cdots) $$
则称为交错级数。
常写为：
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n $$
或
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n $$
莱布尼茨审敛法
对于交错级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n $$
若满足：
- 单调递减：
$$ u_n\ge u_{n+1}\quad(n=1,2,\cdots) $$
- 通项趋于零：
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=0 $$
则交错级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n $$
收敛。
绝对收敛
对于任意项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}|u_n| $$
收敛，则称原级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
绝对收敛。
条件收敛
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
收敛，但
$$ \sum_{n=1}^{\infty}|u_n| $$
发散，则称原级数条件收敛。
重排性质
绝对收敛级数
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
绝对收敛，则任意改变各项顺序后得到的新级数仍然收敛，且和不变。
条件收敛级数
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
条件收敛，则改变项的顺序后，级数的和可能改变，甚至可能发散。
黎曼重排定理
若级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n $$
条件收敛，则对任意给定实数 $A$，都可以重新排列级数的各项，使重排后的级数收敛于 $A$。
还可以通过适当重排，使其发散到 $+\infty$ 或 $-\infty$
函数项级数
定义
设在集合 $D\subset \mathbb R$ 上给定一列函数：
$$ u_1(x),\ u_2(x),\ \cdots,\ u_n(x),\ \cdots $$
将它们逐项相加，得到：
$$ u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots $$
或记为：
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
称为函数项级数。
其中 $u_n(x)$ 称为通项。
前 $n$ 项部分和为：
$$ s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x) $$
函数项级数的收敛
对于函数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
若对某点 $x_0\in D$，数值级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x_0) $$
收敛，则称 $x_0$ 是函数项级数的收敛点。
所有收敛点组成的集合称为函数项级数的收敛域。
若对任意 $x\in D$，级数都收敛，则称函数项级数在 $D$ 上处处收敛。
等比函数项级数：
$$ 1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots $$
即：
$$ \sum_{n=0}^{\infty}x^n $$
当
$$ |x|<1 $$
时收敛，且和函数为：
$$ s(x)=\frac{1}{1-x} $$
当
$$ |x|\ge 1 $$
时发散。
因此它的收敛域为：
$$ (-1,1) $$
逐点收敛
设函数列
$$ \{f_n(x)\} $$
定义在集合 $D$ 上，并在 $D$ 上处处收敛于函数 $f(x)$。
若对每一个固定的 $x\in D$，都有
$$ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) $$
则称 $f_n(x)$ 在 $D$ 上逐点收敛于 $f(x)$。
逐点收敛的特点是：对不同的 $x$，达到指定精度所需的 $N$ 可以不同。
一致收敛
设函数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
的部分和函数为
$$ s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x) $$
若部分和函数列 $\{s_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于和函数 $s(x)$，则称函数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
在 $D$ 上一致收敛。
判别法
余项判别法
函数项级数的余项为
$$ r_n(x)=s(x)-s_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty}u_k(x) $$
级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
在 $D$ 上一致收敛的充分必要条件是：
$$ \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}|r_n(x)|=0 $$
也就是：
$$ \forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ n>N,\ \forall x\in D,\quad |r_n(x)|<\varepsilon $$
上确界判别法
若设
$$ \beta_n=\sup_{x\in D}|s_n(x)-s(x)| $$
则函数列 $\{s_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $s(x)$ 的充分必要条件是：
$$ \lim_{n\to\infty}\beta_n=0 $$
柯西准则
对任意
$$ \varepsilon>0 $$
存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，对任意正整数 $p$，以及任意 $x\in D$，都有
$$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x) \right| <\varepsilon $$
则函数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
在 $D$ 上一致收敛
魏尔斯特拉斯判别法
设函数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
定义在集合 $D$ 上。
若存在正项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}M_n $$
使得：
- 对一切 $x\in D$，都有
$$ |u_n(x)|\le M_n $$
- 正项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}M_n $$
收敛
则函数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) $$
在 $D$ 上一致收敛。
该判别法也称为 Weierstrass 判别法或 M 判别法。
幂级数
形如
$$ a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots $$
的函数项级数称为关于 $x-x_0$ 的幂级数，简称幂级数。
其中 $x_0$ 为常数，
$$ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots $$
称为幂级数的系数。
也可写成：
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n $$
当 $x_0=0$ 时，幂级数变为：
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots $$
收敛域结构
收敛中心
对于幂级数
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n $$
当
$$ x=x_0 $$
时，除首项外其余各项都为 $0$，所以级数一定收敛。
因此 $x_0$ 称为幂级数的收敛中心。
阿贝尔定理
对于幂级数
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n $$
有如下结论：
若它在点 $x=x_1\ne0$ 处收敛，则当
$$ |x|<|x_1| $$
时，幂级数绝对收敛。
若它在点 $x=x_1\ne0$ 处发散，则当
$$ |x|>|x_1| $$
时，幂级数发散。
由阿贝尔定理可知，幂级数的收敛域一定是以收敛中心为中心的区间。
对于
$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n $$
其收敛域关于原点对称。
存在一个数 $R$，满足：
$$ 0\le R\le +\infty $$
使得：
当
$$
|x| 时，幂级数绝对收敛； 当 $$
|x|>R
$$ 时，幂级数发散； 当 $$
x=\pm R
$$ 时，幂级数可能收敛，也可能发散，需要单独判断。 上述数 $R$ 称为幂级数的收敛半径。 对于 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$ 若只在 $x=0$ 处收敛，则规定： $$
R=0
$$ 若对任意实数 $x$ 都收敛，则规定： $$
R=+\infty
$$ 若 $$
0 则幂级数在开区间 $$
(-R,R)
$$ 内绝对收敛，在区间外发散。 对于 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$ 开区间 $$
(-R,R)
$$ 称为收敛区间。 对于一般形式 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
$$ 其收敛区间为： $$
(x_0-R,\ x_0+R)
$$ 端点 $$
x=x_0-R,\quad x=x_0+R
$$ 处的收敛性需要分别代入原级数单独判断。 对于幂级数 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$ 若存在 $$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho
$$ 则收敛半径为： $$
R=\frac1{\rho}
$$ 其中约定： $$
\rho=0\Rightarrow R=+\infty
$$ $$
\rho=+\infty\Rightarrow R=0
$$ 设两个幂级数 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\quad
\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
$$ 的收敛半径分别为 $R_1,R_2$，记 $$
R=\min\{R_1,R_2\}
$$ 在 $|x| $$
\alpha\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\pm
\beta\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
=
\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha a_n\pm \beta b_n)x^n
$$ $$
\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)
\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)
=
\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n
$$ 其中 $$
c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0
$$ 加减运算或乘法运算最后所得到的幂级数的收敛半径 $R$ 可能大于 $\min\{R_1,R_2\}$ 设幂级数 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$ 的收敛半径为 $R$。 若 $$
[a,b]\subset(-R,R)
$$ 则该幂级数在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛。 即幂级数在收敛区间内部任意闭区间上一致收敛。 设幂级数 $$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$ 的和函数为 $$
s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$ $s(x)$ 在收敛区间内连续，即对于收敛区间中的任一点 $x_{0}$ 有 $$
\lim_{ x \to x_{0} }\sum^{\infty}_{n=0} a_{n}x^n=\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x_{0}^n
$$ $s(x)$ 在收敛区间内可导，且有逐项求导公式 $$
s'(x)=\left( \sum^{\infty}_{n=0} a_{n}x^n\right)'=\sum^{\infty}_{n=0}(a_{n}x^n)'=\sum^{\infty}_{n=1}na_{n}x^{n-1},|x| $s(x)$ 在收敛区间内可积，且有逐项积分公式 $$
\int^x_{0} \,s(t) dx = \int^x_{0} \,\left( \sum^{\infty}_{n=0}a_{n}t^n \right)dt =\sum^{\infty}_{n=0} \int^x_{0} \,a_{n}t^ndt=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{a_{n}}{n+1}x^{n+1},|x| 若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近能展开成幂级数，则展开式必为 $$
f(x)=
f(x_0)
+f'(x_0)(x-x_0)
+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
+\cdots
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
+\cdots
$$ 即 $$
f(x)=
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$ 该级数称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数。 当 $x_0=0$ 时，泰勒级数变为 $$
f(x)
=
f(0)
+\frac{f'(0)}{1!}x
+\frac{f''(0)}{2!}x^2
+\cdots
+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
+\cdots
$$ 即 $$
f(x)=
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
$$ 称为 $f(x)$ 的麦克劳林展开式，右边的级数称为麦克劳林级数。 直接展开法是先作出函数 $f(x)$ 的泰勒级数或麦克劳林级数，再求其收敛半径，并判断该级数的和是否等于 $f(x)$。 对麦克劳林展开式，步骤为： $$
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
$$ $$
\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0
$$ $$
e^x=
1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots
$$ 收敛区间为 $$
(-\infty,+\infty)
$$ $$
\sin x
=
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}
-\cdots
+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
+\cdots
$$ 收敛区间为 $$
(-\infty,+\infty)
$$ $$
\cos x
=
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}
-\cdots
+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
+\cdots
$$ 收敛区间为 $$
(-\infty,+\infty)
$$ 根据函数展开为幂级数的唯一性，可利用已知函数的展开式，并结合幂级数的运算性质，把所给函数展开成幂级数。 常用方式： 由 $$
\frac1{1+x}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,\quad x\in(-1,1)
$$ 逐项积分可得 $$
\ln(1+x)
=
x-\frac{x^2}{2}
+\frac{x^3}{3}
-\cdots
+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
+\cdots
$$ 收敛区间为 $$
(-1,1]
$$ 由 $$
\frac1{1+x^2}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n},\quad x\in(-1,1)
$$ 逐项积分可得 $$
\arctan x
=
x-\frac{x^3}{3}
+\frac{x^5}{5}
-\cdots
+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
+\cdots
$$ 收敛区间为 $$
[-1,1]
$$ 若 $\alpha$ 为任意不为零常数，则 $$
(1+x)^\alpha
=
1+\alpha x
+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2
+\cdots
+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n
+\cdots
$$ 在区间 $$
(-1,1)
$$ 内成立。 设 $$
z_n=u_n+iv_n
$$ 为复数列，则 $$
\sum_{n=1}^{\infty}z_n
=
z_1+z_2+\cdots+z_n+\cdots
$$ 称为复数项级数。 若实部构成的级数 $$
\sum_{n=1}^{\infty}u_n
$$ 收敛于 $u$，虚部构成的级数 $$
\sum_{n=1}^{\infty}v_n
$$ 收敛于 $v$，则复数项级数收敛于 $$
z=u+iv
$$ 若 $$
\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|
$$ 收敛，则复数项级数 $$
\sum_{n=1}^{\infty}z_n
$$ 绝对收敛。 复变量幂级数 $$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}
=
1+\frac{z}{1!}
+\frac{z^2}{2!}
+\cdots
+\frac{z^n}{n!}
+\cdots
$$ 在整个复平面上绝对收敛。 定义复指数函数 $$
e^z=
1+\frac{z}{1!}
+\frac{z^2}{2!}
+\cdots
+\frac{z^n}{n!}
+\cdots
$$ 设一阶方程为 $$
y'=P(x,y),\quad y|_{x=x_0}=y_0
$$ 若方程的解不能用初等函数或积分表示，可设其解能展开为 $$
y=y_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)^2+\cdots+b_n(x-x_0)^n+\cdots
$$ 代入方程，比较等式两端 $(x-x_0)$ 的同次幂系数，即可确定系数 $$
b_1,b_2,\cdots,b_n,\cdots
$$ 设方程为 $$
y''+p(x)y'+q(x)y=0
$$ 若 $p(x)$ 与 $q(x)$ 在区间 $(-R,R)$ 内可展开成 $x$ 的幂级数，则方程有形如 $$
y=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
$$ 的解。 若给定初始条件 $$
y|_{x=0}=y_0,\quad y'|_{x=0}=y_0'
$$ 则由初始条件确定 $$
b_0,\quad b_1
$$ 再将 $$
y=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
$$ 及其导数代入方程，比较同次幂系数，确定其余系数。 三角函数的通项是周期函数，因此三角级数可用于研究周期性现象。 简单谐振动可表示为 $$
y=A\sin(\omega t+\varphi)
$$ 其中，$y$ 表示动点位置，$t$ 表示时间，$A$ 为振幅，$\omega$ 为角频率，$\varphi$ 为初相。其周期为 $$
T=\frac{2\pi}{\omega}
$$ 较复杂的周期运动可看作若干简谐振动的叠加： $$
A_0+A_1\sin(\omega t+\varphi_1)+A_2\sin(2\omega t+\varphi_2)+\cdots+A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)
$$ 一般地，周期为 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 的函数 $f(t)$ 可用无穷多个正弦函数叠加表示： $$
A_0+A_1\sin(\omega t+\varphi_1)+A_2\sin(2\omega t+\varphi_2)+\cdots+A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)+\cdots
$$ 由于 $$
A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)
=A_n\sin\varphi_n\cos n\omega t+A_n\cos\varphi_n\sin n\omega t
$$ 令 $$
\frac{a_0}{2}=A_0,\quad a_n=A_n\sin\varphi_n,\quad b_n=A_n\cos\varphi_n,\quad \omega t=x
$$ 则三角级数可写为 $$
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
$$ 函数系 $$
1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots
$$ 称为基本三角函数系。 该函数系具有正交性：任意两个不同函数的乘积在区间 $[-\pi,\pi]$ 上的积分为零。 具体有： $$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx=0\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ $$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx=0\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ $$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\,dx=0\quad(m,n=1,2,3,\cdots)
$$ $$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx=0\quad(m,n=1,2,3,\cdots,\ m\ne n)
$$ $$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx=0\quad(m,n=1,2,3,\cdots,\ m\ne n)
$$ 两个相同函数的乘积在 $[-\pi,\pi]$ 上的积分不等于零： $$
\int_{-\pi}^{\pi}1^2\,dx=2\pi
$$ $$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2nx\,dx=\pi\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ $$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2nx\,dx=\pi\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的可积函数，若它在 $[-\pi,\pi]$ 上可展开为三角级数： $$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
$$ 利用三角函数系的正交性，可确定系数 $a_0,a_n,b_n$。 对上式在 $[-\pi,\pi]$ 上逐项积分： $$
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi
$$ 因此 $$
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx
$$ 用 $\cos nx$ 乘两端并在 $[-\pi,\pi]$ 上逐项积分，得 $$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 用 $\sin nx$ 乘两端并在 $[-\pi,\pi]$ 上逐项积分，得 $$
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 合并为欧拉—傅里叶公式： $$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ $$
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 由这些公式确定的系数 $a_0,a_n,b_n$ 称为傅里叶系数。 由傅里叶系数确定的三角级数 $$
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
$$ 称为函数 $f(x)$ 的傅里叶级数，记作 $$
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
$$ 对于任意在 $[-\pi,\pi]$ 上可积的函数，都可以形式上求出傅里叶系数，但其傅里叶级数是否收敛、是否收敛于 $f(x)$，还需要进一步判断： 若 $f(x)$ 满足： 则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且： $$
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
=
\begin{cases}
f(x), & x\text{ 是 }f(x)\text{ 的连续点}\\
\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)], & x\text{ 是 }f(x)\text{ 的间断点}
\end{cases}
$$ 也就是说，傅里叶级数在连续点处收敛于函数值，在间断点处收敛于左右极限的算术平均值。 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(x)\cos nx$ 是奇函数，因此 $$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx=0\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ 于是奇函数的傅里叶级数只含正弦项： $$
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx
$$ 其中 $$
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 该级数称为正弦级数。 若 $f(x)$ 是偶函数，则 $f(x)\sin nx$ 是奇函数，因此 $$
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx=0\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 于是偶函数的傅里叶级数只含常数项和余弦项： $$
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx
$$ 其中 $$
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ 该级数称为余弦级数。 若函数 $f(x)$ 只定义在 $[0,\pi]$ 上，可根据需要将它延拓到 $[-\pi,\pi]$ 上，再展开成傅里叶级数。 将 $f(x)$ 作奇延拓： $$
F(x)=
\begin{cases}
f(x), & 0 此时得到正弦级数： $$
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx
$$ 其中 $$
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 将 $f(x)$ 作偶延拓： $$
F(x)=
\begin{cases}
f(x), & 0\le x\le \pi,\\
f(-x), & -\pi\le x<0.
\end{cases}
$$ 此时得到余弦级数： $$
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx
$$ 其中 $$
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ 设函数 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，在 $[-l,l]$ 上满足傅里叶级数展开条件。 作变量代换 $$
t=\frac{\pi x}{l},\quad x=\frac{lt}{\pi}
$$ 则当 $x\in[-l,l]$ 时，$t\in[-\pi,\pi]$。 若记 $$
F(t)=f\left(\frac{lt}{\pi}\right)
$$ 则 $F(t)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，可展开为 $$
F(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)
$$ 其中 $$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(t)\cos nt\,dt\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ $$
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(t)\sin nt\,dt\quad(n=1,2,\cdots)
$$ 将 $t=\frac{\pi x}{l}$ 代入，得 $$
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
$$ 其中傅里叶系数为 $$
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ $$
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx\quad(n=1,2,\cdots)
$$ 该级数称为周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数。 若函数 $f(x)$ 定义在任意有限区间 $[a,b]$ 上，可通过变量代换化为 $[-\pi,\pi]$ 上的问题。 令 $$
t=\frac{\pi\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}{\frac{b-a}{2}}
=\frac{2\pi}{b-a}\left(x-\frac{a+b}{2}\right)
$$ 则 $$
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cdot\frac{t}{\pi}
$$ 当 $x\in[a,b]$ 时，$t\in[-\pi,\pi]$。 令 $$
F(t)=f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cdot\frac{t}{\pi}\right)
$$ 则可先将 $F(t)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上展开成傅里叶级数，再把 $$
t=\frac{2\pi}{b-a}\left(x-\frac{a+b}{2}\right)
$$ 代回，即得 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的傅里叶级数展开。 设 $f(x)$ 是周期为 $2l$ 的周期函数，其傅里叶级数为 $$
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
$$ 其中 $$
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx\quad(n=0,1,2,\cdots)
$$ $$
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 利用欧拉公式 $$
\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},\quad \sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}
$$ 可得 $$
a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}
=
\frac{a_n-ib_n}{2}e^{i\frac{n\pi x}{l}}
+
\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-i\frac{n\pi x}{l}}
$$ 记 $$
c_0=\frac{a_0}{2}
$$ $$
c_n=\frac{a_n-ib_n}{2},\quad c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}\quad(n=1,2,3,\cdots)
$$ 则傅里叶级数可写成复数形式： $$
\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}
$$ 其中复系数为 $$
c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}}\,dx\quad(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)
$$ 因此，周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$ 的复数形式傅里叶级数为 $$
f(x)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}
$$ 其中 $$
c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}}\,dx\quad(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)
$$收敛半径
收敛区间
常见结论
幂级数的运算
加减法
乘法
内闭一致收敛性
和函数的性质
连续性
可微性
可积性
函数展开成幂级数的方法
泰勒级数
麦克劳林级数
直接展开法
常见直接展开式
指数函数
正弦函数
余弦函数
间接展开法
常见间接展开式
对数函数
反正切函数
二项式展开式
欧拉公式
复数项级数
复指数函数
常微分方程的幂级数解法
一阶方程
二阶齐次线性方程
傅里叶级数
周期函数与三角级数
三角函数系的正交性
函数展开成傅里叶级数
傅里叶级数
正弦级数
余弦级数
奇延拓与偶延拓
奇延拓与正弦级数
偶延拓与余弦级数
一般周期函数的傅里叶级数
对称区间上的周期函数
非对称区间上的周期函数
傅里叶级数的复数形式