数列极限
定义
给定数列 $\{x_{n}\}$，如果存在常数 $A$，使得 $\forall \varepsilon>0$(无论它多么小)，$\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当 $n>N$ 时，绝对值不等式 $| x_{n}-A|<\varepsilon$ 恒成立，则称数列 ${x_{n}}$ 以 $A$ 为极限，记为
$$ \lim_{ n \to \infty }x_{n}=A $$
或 $x_{n}\to A(n\to \infty)$
若数列存在极限则称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛，上面的定义也称为数列极限定义的“$\varepsilon-N$”语言
性质
- 唯一性：若数列 $\{x_{n}\}$ 收敛，则 $\{x_{n}\}$ 的极限是唯一的
- 有界性：若数列 $\{x_{n}\}$ 收敛，则 $\{x_{n}\}$ 必有界
- 保号性：若
$$ \lim_{ n \to \infty }x_{n}=A $$
,且 $A>0$，则 $\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当 $n>N$ 时，有 $x_{n}> \frac{A}{2}>0$
- 若
$$ \lim_{ n \to \infty }x_{n}=A $$
,且 $A>0$，则 $\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当 $n>N$ 时，有 $| x_{n}|> \frac{| A|}{2}>0$
2. 若对数列 $\{x_{n}\}$，$\exists N\in \mathbb{Z}^+$，使得当 $n>N$ 时，$x_{n}\geq 0$,且
$$ \lim_{ n \to \infty }x_{n}=A $$
则 $A\geq 0$
4. 归并性：数列 $\{x_{n}\}$ 收敛于 $A$ 的充分必要条件是 $\{x_{n}\}$ 的任一子集也收敛于 $A$
四则运算
设
$$ \lim_{ n \to \infty }x_{n}=A,\lim_{ n \to \infty }y_{n}=B $$
则
1.
$$ \lim_{ n \to \infty }(x_{n}\pm y_{n})=\lim_{ n \to \infty }x_{n}\pm \lim_{ n \to \infty }y_{n}=A\pm B $$
$$ \lim_{ n \to \infty }(x_{n}y_{n})=\lim_{ n \to \infty }x_{n}\lim_{ n \to \infty }y_{n}=AB $$
特别地，有
$$ \lim_{ n \to \infty }(k\cdot x_{n})=k\lim_{ n \to \infty }x_{n}=kA $$
$$ \lim_{ n \to \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim_{ n \to \infty }x_{n}}{\lim_{ n \to \infty }y_{n}}= \frac{A}{B} $$
（这里 $B\neq 0$）
数列极限存在的判别定理
- 夹逼准则：如果数列 $\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\}$, $\{z_{n}\}$ 满足：$\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当 $n>N$ 时有 $y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n}$，且
$$ \lim_{ n \to \infty }y_{n}=\lim_{ n \to \infty }z_{n}=A $$
,则
$$ \lim_{ n \to \infty }x_{n}=A $$
- 单调有界原理：若数列单调增加且有上界（或单调递减且有下界），则此数列必存在极限
- 柯西收敛准则：数列 $\{x_{n}\}$ 收敛的充分必要条件是：$\forall \varepsilon>0,\exists N_{0}\in \mathbb{Z}^+$,只要 $m,n>N_{0}$ 时，就有 $| x_{m}-x_{n}| <\varepsilon$，也可以说成 $\forall \varepsilon>0,\exists N_{0}\in \mathbb{Z}^+$,只要 $n>N_{0}$ 时，就有 $| x_{n+p}-x_{n}| <\varepsilon$ 对所有 $p\in \mathbb{Z}^+$ 成立
数列极限证明的常见格式
要证：
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = A $$
证明：
令 $ \varepsilon>0 $
需要找到 $ N\in \mathbb{Z}^+$，使得 $n>N \Rightarrow | a_n-A|<\varepsilon$.
对 $| a_n-A|$ 作代数变形： $| a_n-A| =\cdots $(便于下一步进行)
由 $| a_n-A| <\varepsilon $ 得到对 $ n $ 的限制： $n > \cdots(\varepsilon\ 的表达式)$
取 $ N = [ \cdots(\varepsilon\ 的表达式) ]$
于是当 $n>N$,有 $| a_n-A| <\varepsilon$.
因此
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = A $$
常见极限
$$ \lim_{ n \to \infty }\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+k}=e $$
($k$ 为常数)
2.
$$ \lim_{ n \to \infty }\left( 1 + \frac{k}{n} \right)^n=e^k $$
($k$ 为常数)
3.
$$ \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{a}=1 $$
($a>0$ 且为常数)
4.
$$ \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1 $$
函数极限
定义
自变量趋于无穷大时
设函数 $y=f(x)$ 在 $|x|\geq a$ 有定义，$A$ 为实数，若 $\forall \varepsilon>0,\exists X>a>0$，使得当 $|x|>X$ 时有 $| f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则称常数 $A$ 为函数 $y=f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限，记作
$$ \lim_{ x \to \infty }f(x)=A $$
或 $f(x)\to A(当x\to \infty)$
以上定义也称作函数极限定义的“$\varepsilon-X$”语言，如果这样的常数不存在，则称当 $x\to \infty$ 时函数 $f(x)$ 的极限不存在
有
$$ \lim_{ x \to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{ x \to +\infty }f(x)=A且\lim_{ x \to -\infty }f(x)=A $$
自变量趋于有限值时
设函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_{0})$ 有定义，若 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$，使得当 $0<|x-x_{0}|<\delta$ 时有 $| f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时的极限，记作
$$ \lim_{ x \to x_{0}}f(x)=A $$
或 $f(x)\to A(当x\to x_{0})$
以上定义也称作函数极限定义的“$\varepsilon-\delta$”语言
单侧极限
定义
设函数 $y=f(x)$ 在 $(x_{0},x_{0}+\delta_{1})$ 有定义，若 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta_{1}>\delta>0$，使得当 $x_{0}
$$ \lim_{ x \to x_{0}^+}f(x)=A $$
或 $f(x)\to A(当x\to x_{0}^+)$ 或 $f(x_{0}+0)=A$
设函数 $y=f(x)$ 在 $(x_{0}-\delta_{2},x_{0})$ 有定义，若 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta_{2}>\delta>0$，使得当 $x_{0}-\delta
$$ \lim_{ x \to x_{0}^-}f(x)=A $$
或 $f(x)\to A(当x\to x_{0}^-)$ 或 $f(x_{0}-0)=A$
左极限和右极限统称为单侧极限
有
$$ \lim_{ x \to x_{0}^+}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{ x \to x_{0}^-}f(x)=\lim_{ x \to x_{0}}f(x)=A $$
性质
- 极限的唯一性：如果
$$ \lim_{ x \to x_{0}}f(x) $$
存在，则极限唯一
2. 函数局部有界性：若极限
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x) $$
存在，则在点 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $\mathring{U}(x_{0},\delta)$ 内，函数 $f(x)$ 有界，即存在正数 $\delta和M$，使得 $|f(x)|\leq M,\forall x\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$
3. 函数局部保号性：
- 若极限
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A>0(A<0) $$
则存在 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_{0},\delta)$，使得当 $x\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$ 时，有 $f(x)>0(f(x)<0)$
2. 若 $f(x)\geq0(f(x)\leq 0)$，且
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A $$
则必有 $A\geq 0(A\leq 0)$
运算法则
四则运算
设
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A $$
$$ \lim_{ x \to x_{0} }g(x)=B $$
则有
1.
$$ \lim_{ x \to x_{0} }[f(x)\pm g(x)] $$
存在，且
$$ \lim_{ x \to x_{0} }[f(x)\pm g(x)]=\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\pm \lim_{ x \to x_{0} }g(x)=A\pm B $$
$$ \lim_{ x \to x_{0} }[f(x)g(x)] $$
存在，且
$$ \lim_{ x \to x_{0} }[f(x)g(x)]=\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\cdot \lim_{ x \to x_{0} }g(x)=AB $$
- 若
$$ \lim_{ x \to x_{0} }g(x)=B\neq 0 $$
则
$$ \lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{ x \to x_{0} }f(x)}{\lim_{ x \to x_{0} }g(x)}=\frac{A}{B} $$
复合函数的极限运算法则
设
$$ \lim_{ t \to t_{0} }\varphi(t)=x_{0}，\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A $$
且在点 $t_{0}$ 的某去心邻域内有 $\varphi(t)\neq x_{0}$（保证在 $x_{0}$ 的去心邻域内），则
$$ \lim_{ t \to t_{0} }f[\varphi(t)]=A $$
函数极限存在的条件
- 归结原理（海涅原理）：设 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $\mathring{U}(x_{0})$ 内有定义，则极限
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A $$
的充分必要条件是：对任何含于 $\mathring{U}(x_{0})$ 且以 $x_{0}$ 为极限的数列 $\{x_{n}\}$ 都有
$$ \lim_{ n \to \infty }f(x_{n})=A $$
- 对单侧极限：设 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $\mathring{U}_{+}(x_{0})$ 内有定义，则极限
$$ \lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=A $$
的充分必要条件是：对任何以 $x_{0}$ 为极限的递减数列 $\{x_{n}\}\subseteq \mathring{U}_{+}(x_{0})$ 有
$$ \lim_{ n \to \infty }f(x_{n})=A $$
- 夹逼准则：如果函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足：当 $x\in \mathring{U}(x_{0})$ 时，有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$；当 $x\to x_{0}$ 时，有 $g(x)\to A,h(x)\to A$，则当 $x\to x_{0}$ 时，$f(x)$ 的极限存在，且等于 $A$
- 柯西收敛原则：设函数 $f$ 在 $\mathring{U}(x_{0},\delta')$ 有定义，
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x) $$
存在的充分必要条件是：$\forall \varepsilon>0,\exists\delta(<\delta')>0$ 使得 $\forall x',x''\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$
无穷小与无穷大
无穷小
定义
若
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=0 $$
则称 $f(x)$ 为 $x\to x_{0}$ 时的无穷小量，简称为无穷小
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A $$
的充分必要条件是：$f(x)=A+\alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 在 $x\to x_{0}$ 时为无穷小
性质
- 有限个无穷小的和仍然是无穷小
- 有界函数与无穷小之积仍然是无穷小，从而常数与无穷小之积仍然是无穷小
- 有限个无穷小之积仍然是无穷小
无穷大
定义
设函数 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_{0})$ 内有定义，若 $\forall M>0,\exists \delta>0$，当 $0<|x-x_{0}|<\delta$ 有 $|f(x)|>M$，则称 $f(x)$ 是 $x\to x_{0}$ 的无穷大量，简称为无穷大，记作
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=\infty $$
将上面定义中的不等式 $|f(x)|>M$ 分别改为 $f(x)>M$ 和 $f(x)<-M$，则分别称 $f(x)$ 在 $x\to x_{0}$ 时为正无穷大和负无穷大，记作
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=+\infty $$
和
$$ \lim_{ x \to x_{0} }f(x)=-\infty $$
性质
在同一极限过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 必为无穷小；在同一极限过程中，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 必为无穷大；
无穷小的比较
设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 为自变量 $x$ 的同一极限过程中的两个无穷小
- 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$，则称 $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶无穷小，记为 $\beta=o(\alpha)$，或称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 低阶的无穷小
- 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=C\neq 0$，则称 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 同阶的无穷小，记为 $\beta=O(\alpha)$
- 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$，则称 $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$等价无穷小，记为 $\beta \sim \alpha$
- 若
$$ \lim \begin{vmatrix}\frac{\beta}{\alpha^k}\end{vmatrix}=C\neq 0(k>0) $$
则称 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的 $k$ 阶无穷小
等价无穷小的性质
- 若 $\beta(x)$ 和 $\alpha(x)\neq0$ 都是同一个极限过程中的无穷小，则有 $\alpha\sim\beta\Leftrightarrow\beta=\alpha+o(\alpha)$
- 设 $\alpha,\beta,\alpha',\beta'$ 均为 $x$ 的同一极限过程中的无穷小，且 $\alpha\sim\alpha'$, $\beta\sim\beta'$，若 $\lim \frac{\beta'}{\alpha'}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta}{\alpha}$ 存在，且 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\beta'}{\alpha'}$
- 代换必须在极限方向上一致
- 当 $x\to 0$ 时，只能用与 $x\to 0$ 同阶的无穷小去代换
- 当 $x\to \infty$ 时，只能用与 $x\to \infty$ 同阶的无穷小去代换
- 其余同理
- 代换只能在乘法或函数组合中使用，对于加减法需要注意高阶无穷小不能忽略
常见等价无穷小
当 $x\to 0$ 时
- $\sin x\sim x$
- $x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^3$
- $\arcsin x\sim x$
- $\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}x^3$
- $1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2$
- $\tan x\sim x$
- $\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^3$
- $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}x^3$
- $\arctan x\sim x$
- $\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}x^3$
- $\log_{a}(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$
- $(1+x)^a-1\sim ax$
- $e^x-1\sim x$
- $x-\ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^2$
- $\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 })\sim x$
- $\ln(1+x)\sim x$
- $(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x$
- $\alpha^x-1\sim x\ln \alpha$
洛必达法则
如果 $x\to a(x\to \infty)$ 时，两个函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限
$$ \lim_{\underset{ (x\to \infty) }{ x \to a }} \frac{f(x)}{g(x)} $$
可能存在，也可能不存在，通常把这种极限叫作未定式，简记为 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$
这样的不定式可以用
$$ \lim_{ \underset{ (x\to \infty) }{ x \to a } } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ \underset{ (x\to \infty) }{ x \to a }} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
来进行求导
不定式处理方法
| 不定型类型 | 处理思路 | 核心公式 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| $\frac{0}{0}$ | 洛必达、泰勒 | —— | $\lim\frac{\sin x}{x}=1$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | 洛必达 、化简 、泰勒 | —— | $\lim\frac{e^x}{x^2}=\infty$ |
| $0\cdot \infty$ | 变形为 $\frac{0}{0}$、或、$\frac{\infty}{\infty}$ | —— | $x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}$ |
| $\infty - \infty$ | 合并成单分式 | —— | $\lim(\sqrt{x^2+1}-x)$ |
| $0^0$ | 指数化、转 exp | $\exp(\lim g(x)\ln f(x))$ | $\lim x^x=1$ |
| $1^\infty$ | 指数化、转 exp | $\exp(\lim g(x)(f(x)-1))$ | $\lim(1+\frac{1}{x})^x=e$ |
| $\infty^0$ | 指数化、转 exp | $\exp(\lim g(x)\ln f(x))$ | $\lim x^{1/x}=1$ |