多元函数

定义

设$D$是$\mathbb{R}^2$的一个非空子集，从$D$到实数集$\mathbb{R}$的一个映射$f$称为定义在$D$上的一个二元函数，记作

$$f:D\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\quad 或\quad (x,y)\mapsto z=f(x,y),(x,y)\in D$$

类似可得，如果设$V$是$\mathbb{R}^3$的一个非空子集，从$V$到实数集$\mathbb{R}$的一个映射$f$称为定义在$D$上的一个三元函数

一般地，$n$元函数可写作

$$y=f(P)=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),P(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$$

多元函数的极限

定义

设 $f$ 是定义在 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上的一个二元函数，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点。若存在常数 $A$，使得 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当点 $P(x, y) \in \mathring{U}(P_0, \delta) \cap D$ 时，有 $|f(x, y) - A| < \varepsilon$ 成立，则称 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当点 $P(x, y)$ 趋近于 $P_0(x_0, y_0)$ 时的极限，记作 $\lim_{P \to P_0} f(x, y) = A$ 或 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A$，也记为 $\lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) = A$，称此极限为二重极限

如果对于任意的 $y \neq y_0$，$\lim_{x \to x_0} f(x, y) = \varphi(y)$，进一步，若 $\lim_{y \to y_0} \varphi(y)$ 存在，则称它为先 $x \to x_0$，后 $y \to y_0$ 时 $f(x, y)$ 的二次极限（也称为累次极限），记为 $\lim_{y \to y_0} [\lim_{x \to x_0} f(x, y)]$。

多元函数的连续性

定义

设 $z=f(x,y)$ 是定义在 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上的二元函数，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点且 $P_0(x_0, y_0) \in D$，如果 $\lim_{P \to P_0} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 连续，$P_0(x_0, y_0)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的连续点；否则称 $f(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 是间断的，$P_0(x_0, y_0)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的间断点

1. 有界性：有界闭区域上的多元连续函数在此闭区域上是有界的。
2. 最大值最小值定理：有界闭区域上的多元连续函数在此闭区域上必存在最大值和最小值。
3. 介值定理： 有界闭区域上的多元连续函数，对于介于其最大值 $M$ 和最小值 $m$ 之间的任意值 $\mu$，必存在闭区域上的一点 $P_0(x_0, y_0)$，使得 $f(x_0, y_0) = \mu$
   设 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义。如果 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，若 $\forall P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2) \in D$，当 $|P_1P_2|<\delta$ 时，总有 $|f(P_1)-f(P_2)|<\varepsilon$ 成立，则称 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 上一致连续。
   即 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，$\forall P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2) \in D$，当

$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} < \delta \quad (\text{或 } |x_1-x_2|<\delta, \ |y_1-y_2|<\delta)$$

时，都有 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon$，则称 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 上一致连续。

一致连续性：设 $D \subset \mathbf{R}^2$ 为有界闭区域，若 $f(x,y)$ 是 $D$ 上的连续函数，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上一致连续。

偏导数

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。当固定 $y=y_0$，而 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量时，函数相应的取得增量

$$\Delta_x z = f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0),$$

称其为函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏增量。
若极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处关于变量 $x$ 的偏导数，记作

$$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}, \quad \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}, \quad z_x(x_0,y_0) \text{ 或 } f_x(x_0,y_0) \text{ 等}.$$

几何意义

设 $z=f(x,y)$ 表示空间中的一个曲面，若固定 $y=y_0$，则 $\begin{cases} z=f(x,y), \\ y=y_0 \end{cases}$ 表示平面 $y=y_0$ 与曲面 $z=f(x,y)$ 的交线，此交线位于平面 $y=y_0$ 上，$M(x_0, y_0, z_0)$ ($z_0=f(x_0, y_0)$) 为曲面上的点。由偏导数的定义知，$f_x(x_0, y_0)$ 等于一元函数 $f(x, y_0)$ 在 $x=x_0$ 处的导数。由一元函数中导数的几何意义知，$f_x(x_0, y_0)$ 在几何上表示曲线 $\begin{cases} z=f(x,y), \\ y=y_0 \end{cases}$ 在点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 处的切线 $T_x$ 对 $x$ 轴的斜率。

同理，偏导数 $f_y(x_0, y_0)$ 在几何上表示曲线 $\begin{cases} z=f(x,y), \\ x=x_0 \end{cases}$ 在点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 处的切线 $T_y$ 对 $y$ 轴的斜率。

全微分

定义

若函数 $z=f(x,y)$ 在其定义域的内点 $(x_{0},y_{0})$ 的全增量可表示为

$$\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$$

其中 $A, B$ 是不依赖于 $\Delta x, \Delta y$，而仅与点 $(x_0, y_0)$ 有关的两个常数，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处是可微分的，称 $A\Delta x + B\Delta y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的全微分，记作 $dz = A\Delta x + B\Delta y$

可微$\Rightarrow$连续
可微$\Rightarrow$可偏导