极限

数列极限

定义

给定数列$\{x_{n}\}$，如果存在常数$A$，使得$\forall \varepsilon>0$(无论它多么小)，$\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n>N$时，绝对值不等式$| x_{n}-A|<\varepsilon$恒成立，则称数列${x_{n}}$以$A$为极限，记为$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=A$或$x_{n}\to A(n\to \infty)$

若数列存在极限则称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛，上面的定义也称为数列极限定义的“$\varepsilon-N$”语言

性质

1. 唯一性：若数列$\{x_{n}\}$收敛，则$\{x_{n}\}$的极限是唯一的
2. 有界性：若数列$\{x_{n}\}$收敛，则$\{x_{n}\}$必有界
3. 保号性：若$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=A$,且$A>0$，则$\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n>N$时，有$x_{n}> \frac{A}{2}>0$
   1. 若$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=A$,且$A>0$，则$\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n>N$时，有$| x_{n}|> \frac{| A|}{2}>0$
   2. 若对数列$\{x_{n}\}$，$\exists N\in \mathbb{Z}^+$，使得当$n>N$时，$x_{n}\geq 0$,且$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=A$，则$A\geq 0$
4. 归并性：数列$\{x_{n}\}$收敛于$A$的充分必要条件是$\{x_{n}\}$的任一子集也收敛于$A$

四则运算

设$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=A,\lim_{ n \to \infty }y_{n}=B$，则

1. $\lim_{ n \to \infty }(x_{n}\pm y_{n})=\lim_{ n \to \infty }x_{n}\pm \lim_{ n \to \infty }y_{n}=A\pm B$
2. $\lim_{ n \to \infty }(x_{n}y_{n})=\lim_{ n \to \infty }x_{n}\lim_{ n \to \infty }y_{n}=AB$，特别地，有$\lim_{ n \to \infty }(k\cdot x_{n})=k\lim_{ n \to \infty }x_{n}=kA$
3. $\lim_{ n \to \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim_{ n \to \infty }x_{n}}{\lim_{ n \to \infty }y_{n}}= \frac{A}{B}$（这里$B\neq 0$）

数列极限存在的判别定理

1. 夹逼准则：如果数列$\{x_{n}\}$,$\{y_{n}\}$,$\{z_{n}\}$满足：$\exists N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n>N$时有$y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n}$，且$\lim_{ n \to \infty }y_{n}=\lim_{ n \to \infty }z_{n}=A$,则$\lim_{ n \to \infty }x_{n}=A$
2. 单调有界原理：若数列单调增加且有上界（或单调递减且有下界），则此数列必存在极限
3. 柯西收敛准则：数列$\{x_{n}\}$收敛的充分必要条件是：$\forall \varepsilon>0,\exists N_{0}\in \mathbb{Z}^+$,只要$m,n>N_{0}$时，就有$| x_{m}-x_{n}| <\varepsilon$，也可以说成$\forall \varepsilon>0,\exists N_{0}\in \mathbb{Z}^+$,只要$n>N_{0}$时，就有$| x_{n+p}-x_{n}| <\varepsilon$对所有$p\in \mathbb{Z}^+$成立

数列极限证明的常见格式

要证：$ \lim_{n\to\infty} a_n = A $

证明：
令$ \varepsilon>0 $需要找到$ N\in \mathbb{Z}^+$，使得 $n>N \Rightarrow | a_n-A|<\varepsilon$.
对$| a_n-A|$作代数变形： $| a_n-A| =\cdots $(便于下一步进行) 由$| a_n-A| <\varepsilon $得到对$ n $的限制： $n > \cdots(\varepsilon\ 的表达式)$
取$ N = [ \cdots(\varepsilon\ 的表达式) ]$于是当$n>N$,有$| a_n-A| <\varepsilon$. 因此$\lim_{n\to\infty} a_n = A$

常见极限

1. $\lim_{ n \to \infty }\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+k}=e$($k$为常数)
2. $\lim_{ n \to \infty }\left( 1 + \frac{k}{n} \right)^n=e^k$($k$为常数)
3. $\lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{a}=1$($a>0$且为常数)
4. $\lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1$

函数极限

定义

自变量趋于无穷大时

设函数$y=f(x)$在$|x|\geq a$有定义，$A$为实数，若$\forall \varepsilon>0,\exists X>a>0$，使得当$|x|>X$时有$| f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$为函数$y=f(x)$当$x\to \infty$时的极限，记作$\lim_{ x \to \infty }f(x)=A$或$f(x)\to A(当x\to \infty)$

以上定义也称作函数极限定义的“$\varepsilon-X$”语言，如果这样的常数不存在，则称当$x\to \infty$时函数$f(x)$的极限不存在

有$\lim_{ x \to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{ x \to +\infty }f(x)=A且\lim_{ x \to -\infty }f(x)=A$

自变量趋于有限值时

设函数$y=f(x)$在$x_{0}$的某一去心邻域$\mathring{U}(x_{0})$有定义，若$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$，使得当$0<|x-x_{0}|<\delta$时有$| f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x)$当$x\to x_{0}$时的极限，记作$\lim_{ x \to x_{0}}f(x)=A$或$f(x)\to A(当x\to x_{0})$

以上定义也称作函数极限定义的“$\varepsilon-\delta$”语言

单侧极限

定义

设函数$y=f(x)$在$(x_{0},x_{0}+\delta_{1})$有定义，若$\forall \varepsilon>0,\exists \delta_{1}>\delta>0$，使得当$x_{0}<x<x_{0}+\delta$时有$| f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x)$当$x\to x_{0}$时的右极限，记作$\lim_{ x \to x_{0}^+}f(x)=A$或$f(x)\to A(当x\to x_{0}^+)$或$f(x_{0}+0)=A$

设函数$y=f(x)$在$(x_{0}-\delta_{2},x_{0})$有定义，若$\forall \varepsilon>0,\exists \delta_{2}>\delta>0$，使得当$x_{0}-\delta<x<x_{0}$时有$| f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x)$当$x\to x_{0}$时的左极限，记作$\lim_{ x \to x_{0}^-}f(x)=A$或$f(x)\to A(当x\to x_{0}^-)$或$f(x_{0}-0)=A$

左极限和右极限统称为单侧极限

有$\lim_{ x \to x_{0}^+}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{ x \to x_{0}^-}f(x)=\lim_{ x \to x_{0}}f(x)=A$

性质

1. 极限的唯一性：如果$\lim_{ x \to x_{0}}f(x)$存在，则极限唯一
2. 函数局部有界性：若极限$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$存在，则在点$x_{0}$的某个去心邻域$\mathring{U}(x_{0},\delta)$内，函数$f(x)$有界，即存在正数$\delta和M$，使得$|f(x)|\leq M,\forall x\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$
3. 函数局部保号性：
   1. 若极限$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A>0(A<0)$，则存在$x_{0}$的某去心邻域$\mathring{U}(x_{0},\delta)$，使得当$x\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$时，有$f(x)>0(f(x)<0)$
   2. 若$f(x)\geq0(f(x)\leq 0)$，且$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$，则必有$A\geq 0(A\leq 0)$

运算法则

四则运算

设$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$，$\lim_{ x \to x_{0} }g(x)=B$，则有

1. $\lim_{ x \to x_{0} }[f(x)\pm g(x)]$存在，且$\lim_{ x \to x_{0} }[f(x)\pm g(x)]=\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\pm \lim_{ x \to x_{0} }g(x)=A\pm B$
2. $\lim_{ x \to x_{0} }[f(x)g(x)]$存在，且$\lim_{ x \to x_{0} }[f(x)g(x)]=\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\cdot \lim_{ x \to x_{0} }g(x)=AB$
3. 若$\lim_{ x \to x_{0} }g(x)=B\neq 0$，则$\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{ x \to x_{0} }f(x)}{\lim_{ x \to x_{0} }g(x)}=\frac{A}{B}$

复合函数的极限运算法则

设$\lim_{ t \to t_{0} }\varphi(t)=x_{0}，\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$，且在点$t_{0}$的某去心邻域内有$\varphi(t)\neq x_{0}$（保证在$x_{0}$的去心邻域内），则$\lim_{ t \to t_{0} }f[\varphi(t)]=A$

函数极限存在的条件

1. 归结原理（海涅原理）：设$y=f(x)$在点$x_{0}$的某个去心邻域$\mathring{U}(x_{0})$内有定义，则极限$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$的充分必要条件是：对任何含于$\mathring{U}(x_{0})$且以$x_{0}$为极限的数列$\{x_{n}\}$都有$\lim_{ n \to \infty }f(x_{n})=A$
   1. 对单侧极限：设$y=f(x)$在点$x_{0}$的某个去心邻域$\mathring{U}_{+}(x_{0})$内有定义，则极限$\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=A$的充分必要条件是：对任何以$x_{0}$为极限的递减数列$\{x_{n}\}\subseteq \mathring{U}_{+}(x_{0})$有$\lim_{ n \to \infty }f(x_{n})=A$
2. 夹逼准则：如果函数$f(x),g(x),h(x)$满足：当$x\in \mathring{U}(x_{0})$时，有$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$；当$x\to x_{0}$时，有$g(x)\to A,h(x)\to A$，则当$x\to x_{0}$时，$f(x)$的极限存在，且等于$A$
3. 柯西收敛原则：设函数$f$在$\mathring{U}(x_{0},\delta')$有定义，$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$存在的充分必要条件是：$\forall \varepsilon>0,\exists\delta(<\delta')>0$使得$\forall x',x''\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$，有$|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$

无穷小与无穷大

无穷小

定义

若$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=0$，则称$f(x)$为$x\to x_{0}$时的无穷小量，简称为无穷小

$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$的充分必要条件是：$f(x)=A+\alpha(x)$，其中$\alpha(x)$在$x\to x_{0}$时为无穷小

性质

1. 有限个无穷小的和仍然是无穷小
2. 有界函数与无穷小之积仍然是无穷小，从而常数与无穷小之积仍然是无穷小
3. 有限个无穷小之积仍然是无穷小

无穷大

定义

设函数$f(x)$在$\mathring{U}(x_{0})$内有定义，若$\forall M>0,\exists \delta>0$，当$0<|x-x_{0}|<\delta$有$|f(x)|>M$，则称$f(x)$是$x\to x_{0}$的无穷大量，简称为无穷大，记作$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=\infty$

将上面定义中的不等式$|f(x)|>M$分别改为$f(x)>M$和$f(x)<-M$，则分别称$f(x)$在$x\to x_{0}$时为正无穷大和负无穷大，记作$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=+\infty$和$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=-\infty$

性质

在同一极限过程中，如果$f(x)$为无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$必为无穷小；在同一极限过程中，如果$f(x)$为无穷小，且$f(x)\neq 0$，则$\frac{1}{f(x)}$必为无穷大；

无穷小的比较

设$\alpha(x)$和$\beta(x)$为自变量$x$的同一极限过程中的两个无穷小

1. 若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$，则称$\beta(x)$是比$\alpha(x)$高阶无穷小，记为$\beta=o(\alpha)$，或称$\alpha$是比$\beta$低阶的无穷小
2. 若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=C\neq 0$，则称$\beta(x)$是$\alpha(x)$同阶的无穷小，记为$\beta=O(\alpha)$
3. 若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$，则称$\beta(x)$是比$\alpha(x)$等价无穷小，记为$\beta \sim \alpha$
4. 若$\lim \begin{vmatrix}\frac{\beta}{\alpha^k}\end{vmatrix}=C\neq 0(k>0)$，则称$\beta(x)$是$\alpha(x)$的$k$阶无穷小

等价无穷小的性质

1. 若$\beta(x)$和$\alpha(x)\neq0$都是同一个极限过程中的无穷小，则有$\alpha\sim\beta\Leftrightarrow\beta=\alpha+o(\alpha)$
2. 设$\alpha,\beta,\alpha',\beta'$均为$x$的同一极限过程中的无穷小，且$\alpha\sim\alpha'$,$\beta\sim\beta'$，若$\lim \frac{\beta'}{\alpha'}$存在，则$\lim \frac{\beta}{\alpha}$存在，且$\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\beta'}{\alpha'}$

1. 代换必须在极限方向上一致

• 当$x\to 0$时，只能用与$x\to 0$同阶的无穷小去代换
• 当$x\to \infty$时，只能用与$x\to \infty$同阶的无穷小去代换
• 其余同理

2. 代换只能在乘法或函数组合中使用，对于加减法需要注意高阶无穷小不能忽略

常见等价无穷小

当$x\to 0$时

1. $\sin x\sim x$
2. $x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^3$
3. $\arcsin x\sim x$
4. $\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}x^3$
5. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2$
6. $\tan x\sim x$
7. $\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^3$
8. $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}x^3$
9. $\arctan x\sim x$
10. $\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}x^3$
11. $\log_{a}(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$
12. $(1+x)^a-1\sim ax$
13. $e^x-1\sim x$
14. $x-\ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^2$
15. $\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 })\sim x$
16. $\ln(1+x)\sim x$
17. $(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x$
18. $\alpha^x-1\sim x\ln \alpha$

洛必达法则

如果$x\to a(x\to \infty)$时，两个函数$f(x)$与$g(x)$都趋于零或都趋于无穷大，那么极限$\lim_{\underset{ (x\to \infty) }{ x \to a }} \frac{f(x)}{g(x)}$可能存在，也可能不存在，通常把这种极限叫作未定式，简记为$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$

这样的不定式可以用$\lim_{ \underset{ (x\to \infty) }{ x \to a } } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ \underset{ (x\to \infty) }{ x \to a }} \frac{f'(x)}{g'(x)}$来进行求导

不定式处理方法

不定型类型	处理思路	核心公式	典型例子
$\frac{0}{0}$	洛必达、泰勒	——	$\lim\frac{\sin x}{x}=1$
$\frac{\infty}{\infty}$	洛必达 、化简 、泰勒	——	$\lim\frac{e^x}{x^2}=\infty$
$0\cdot \infty$	变形为$\frac{0}{0}$、或、$\frac{\infty}{\infty}$	——	$x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}$
$\infty - \infty$	合并成单分式	——	$\lim(\sqrt{x^2+1}-x)$
$0^0$	指数化、转 exp	$\exp(\lim g(x)\ln f(x))$	$\lim x^x=1$
$1^\infty$	指数化、转 exp	$\exp(\lim g(x)(f(x)-1))$	$\lim(1+\frac{1}{x})^x=e$
$\infty^0$	指数化、转 exp	$\exp(\lim g(x)\ln f(x))$	$\lim x^{1/x}=1$