微分

定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 内有定义， $x_{0}+\Delta x \in U(x_{0})$ ，如果函数增量 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ,可表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，其中 $A$ 只和 $x_{0}$ 有关，与 $\Delta x$ 无关，而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，则称 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 可微，称 $A\Delta x$ 为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$ ，即 $dy=A(x)\Delta x$ 或 $df(x)=A\Delta x$

若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上每一点都可微，则称 $y=f(x)$ 为 $I$ 上的可微函数，任一点的微分记作 $dy=A(x)\Delta x,x \in I(A(x)实际上就是f'(x))$

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 可微 $\Leftrightarrow$ 在 $x_{0}$ 点可导

常见微分公式及运算法则

$d(x^n) = n x^{n-1}dx, \quad n \neq 0$
$d(e^x) = e^xdx$
$d(a^x) = a^x \ln adx$
$d(\ln x) = \frac{1}{x}dx$
$d(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}dx$
$d(\sin x) = \cos xdx$
$d(\cos x) = -\sin xdx$
$d(\tan x) = \sec^2 xdx$
$d(\cot x) = -\csc^2 xdx$
$d(\sec x) = \sec x \tan xdx$
$d(\csc x) = -\csc x \cot xdx$
$d(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$d(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$d(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}dx$
$d(\operatorname{arccot} x) = -\frac{1}{1+x^2}dx$
$d(\operatorname{arcsec} x) = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}dx$
$d(\operatorname{arccsc} x) = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}dx$
$\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2},d(\sinh x) = \cosh xdx$
$\cosh x= \frac{e^x+e^{-x}}{2},d(\cosh x) = \sinh xdx$
$\tanh=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},d(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 xdx$
$\operatorname{arcsinh} x=\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 }),d(\operatorname{arcsinh} x)= \frac{1}{\sqrt{ 1+x^2 }}dx$
$\operatorname{arccosh} x=\ln(x+\sqrt{ x^2-1 }),d(\operatorname{arccosh} x)= \frac{1}{\sqrt{ x^2-1 }}dx$
$\operatorname{arctanh} x= \frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},d(\operatorname{arctanh} x)= \frac{1}{1-x^2}dx$
$d(\coth x) = -\operatorname{csch}^2 xdx$
$d(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh xdx$
$d(\operatorname{csch} x) = -\operatorname{csch} x \coth xdx$

设函数 $u=u(x),v=v(x)$ 均可微，则有

$d(u\pm v)=du\pm dv$
$d(uv)=vdu+udv$
$d(Cu)=Cdu$
$d\left( \frac{u}{v} \right)= \frac{vdu+udv}{v^2}$

对于复合函数
设 $y=f(u)$ 及 $u=\varphi(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 的微分为 $dy=y_{x}'dx=f'(u)\varphi'(x)dx$ ，由于 $du=\varphi'(x)dx$ ，所以，也可写成 $dy=f'(u)du$

可见，无论 $u$ 为自变量还是中间变量，微分形式 $dy=f'(u)du$ 保持不变，这一性质称为一阶微分形式的不变性

高阶微分

函数 $y=f(x)$ 的一阶微分为 $dy=f'(x)dx$ ,现将 $dy$ 只作为自变量 $x$ 的函数（把 $dx$ 视为完全不变)，此时若 $f$ 二阶可导，那么 $dy$ 对 $x$ 的微分为 $d(dy)=d(f'(x)dx)=d(f'(x))\cdot dx=f''(x)dx\cdot dx=f''(x)(dx)^2$ 称之为函数 $f$ 的二阶微分，记作 $d^2y=f''(x)(dx)^2$ 或 $d^2y=f''(x)dx^2$ ，一般地， $n$ 阶微分是 $n-1$ 阶微分的微分，记作 $d^ny$ ，即 $d^ny=d(d^{n-1}y)=d(f^{(n-1)}(x)dx^{n-1})=f^{(n)}(x)dx^n$

可以发现 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)= \frac{d^ny}{dx^n}$ 可由 $n$ 阶微分推导得到

微分在近似计算中的应用

函数的近似计算

当函数 $y=f(x_{0})$ 在点 $x_{0}$ 可微时，有 $\Delta y=f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x)$ ，变形后可得 $f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x$ ，即可用微分近似计算出函数值

令 $x=x_{0}+\Delta x$ ，即 $\Delta x=x-x_{0}$ ，则有 $f(x)\approx f(x_{0})+f'(x)(x-x_{0})$ ，特别地，当 $x_{0}=0$ ， $|x|$ 很小时，有 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$

常用近似公式

$\sqrt[n]{x+1}\approx 1+ \frac{1}{n}x$
$\sin x \approx x$
$\tan x\approx x$
$e^x\approx 1+x$
$\ln(1+x)\approx x$
实际上是泰勒展开式的简化版

误差估计

设某个量的精确值是 $A$ ，它的由观测或计算得到的近似值为 $a$ ，那么 $|A-a|$ 叫作 $a$ 的绝对误差（一个值），而绝对误差与 $|a|$ 的比值 $\frac{|A-a|}{|a|}$ 叫作 $a$ 的相对误差（一个比例）

在实际中有时能确定误差在某一范围内，设某个量的精确值是 $A$ ，测得它的近似值为 $a$ ，又知它的误差不超过 $\delta_{A}$ ，即 $|A-a|\leq\delta_{A}$ ，那么 $\delta_{A}$ 叫作 $A$ 的绝对误差限，而 $\frac{\delta_{A}}{|a|}$ 叫作 $A$ 的相对误差限