导数

定义

设$y=f(x)$在点$x_{0}$的某个邻域$U(x_{0})$内有定义，$x_{0}+\Delta x\in U(x_{0})$，对于函数的增量$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$，如果极限$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$存在，则称$y=f(x)$在点$x=x_{0}$可导或有导数，或导数存在，此极限称为$y=f(x)$在点$x=x_{0}$的导数，记作$f'(x_{0}),y'(x_{0}),y'\Big|_{x=x_{0}},\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_{0}},\frac{df}{dx}\Big|_{x=x_{0}}$，即$f'(x)=\lim_{ \Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

根据函数在点$x_{0}$处的导数$f'(x_{0})$的定义，$f'(x_{0})=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等，因此$f'(x_{0})$存在即$f(x)$在点$x_{0}$处可导的充分必要条件是$\lim_{ h \to 0^- } \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{ h \to 0^+ } \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$都存在且相等，这两个极限分别称为函数$f(x)$在点$x_{0}$处的左导数和右导数，记作$f'_{-}(x_{0})及f'_{+}(x_{0})$

左右导数统称为单侧导数

函数的求导法则

和、差、积、商

1. $(u\pm v)'=u'\pm v'$
2. $(u v)' = u' v + u v'$
3. $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$

反函数

设$x=\varphi(x)$单调、可导，且$\varphi'(y)\neq 0$,则其反函数$y=f(x)$存在且可导，有$\frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$,或$f'(x)= \frac{1}{\varphi'(y)}$，反函数的导数等于直接函数的导数的倒数

复合函数

$(f(g(h(\dots))))' = f'(g(h(\dots))) \cdot g'(h(\dots))\cdot h'(\dots)\cdot\dots$（链式法则）

常见函数导数

$(x^n)' = n x^{n-1}, \quad n \neq 0$
$(c)' = 0$
$(e^x)' = e^x$
$(a^x)' = a^x \ln a$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
$(\sin x)' = \cos x$
$(\cos x)' = -\sin x$
$(\tan x)' = \sec^2 x$
$(\cot x)' = -\csc^2 x$
$(\sec x)' = \sec x \tan x$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x$
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
$(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$
$(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}$
$(\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}$
$\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2},(\sinh x)' = \cosh x$
$\cosh x= \frac{e^x+e^{-x}}{2},(\cosh x)' = \sinh x$
$\tanh=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x$
$\operatorname{arcsinh} x=\ln(x+\sqrt{ 1+x^2 }),(\operatorname{arcsinh} x)'= \frac{1}{\sqrt{ 1+x^2 }}$
$\operatorname{arccosh} x=\ln(x+\sqrt{ x^2-1 }),(\operatorname{arccosh} x)'= \frac{1}{\sqrt{ x^2-1 }}$
$\operatorname{arctanh} x= \frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},(\operatorname{arctanh} x)'= \frac{1}{1-x^2}$
$(\coth x)' = -\operatorname{csch}^2 x$
$(\operatorname{sech} x)' = -\operatorname{sech} x \tanh x$
$(\operatorname{csch} x)' = -\operatorname{csch} x \coth x$

函数的可导性和连续性之间的关系

若函数$y=f(x)$在点$x_{0}$可导，则必然在点$x_{0}$连续

隐函数求导

在方程$F(x,y)$中，当$x$取某区间$I$内的任意一值时，相应地总有满足该方程的唯一的$y$值存在，那么就说明方程$F(x,y)=0$在该区间$I$内确定了一个隐函数，若将他记为$y=f(x),x\in I$，则在$I$上有$F[x,f(x)]\equiv 0$

把一个隐函数化为显函数，即把$y$解出来，写成自变量$x$的显函数，叫作隐函数的显化

显化相关将在下册中提到

无须通过显化求导：若可导函数$y=f(x)$由$F(x,y)=0$给定，则对恒等式$F[x,f(x)]\equiv 0$关于$x$求导，通过复合函数求导法则解出$y'$或$\frac{dy}{dx}$，即得到隐函数的导数

由参数方程所确定的函数的导数

一般地，若参数方程

$$\begin{cases}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}$$

表示$y$与$x$间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数
设参数方程

$$\begin{cases}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases},\alpha\leq t\leq\beta;\varphi(x),\psi(x)$$

均可导，且$x=\varphi(t)$严格单调，$\varphi'(x)\neq 0$，则有$\frac{dy}{dx}= \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$或$\frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

高阶导数

定义

若$y'=f'(x)$在区间$I$内可导，则称$y'=f'(x)$的导数$(f'(x))'$为函数$y=f(x)$的二阶导数，记作$y''$或$\frac{d^2y}{dx^2}$，即$y''=(y')'$或$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right)$，即$f''(x)=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}=\lim_{ h \to 0 } \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$

二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，$n$阶导数与$n$阶导函数分别记为$f^{(n)}(x_{0}),y^{(n)}(x_{0}),\frac{d^ny}{dx^n}\bigg|_{x=x_{0}}或\frac{d^nf}{dx^n}\bigg|_{x=x_{0}}$与$f^{(n)}(x),y^{(n)}(x),\frac{d^ny}{dx^n}或\frac{d^nf}{dx^n}$

运算法则

如果函数$u=u(x)$及$v=v(x)$都在点$x$处具有$n$阶导数，那么显然$u(x)\pm v(x)$也在点$x$处具有$n$阶导数，且$(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(x)}$

但是乘积$u(x)v(x)$的$n$阶导数并不如此简单

$$\begin{aligned} (u\cdot v)'&=u'c+uv' \\ (u\cdot v)''&=u''v+2u'v'+uv'' \\ (u\cdot v)'''&=u'''v+3u''v'+3u'v''+v'''u \end{aligned}$$

用数学归纳法，可得$(u\cdot v)^{(n)}=C^0_{n}u^{(n)}v+C^1_{n}u^{(n-1)}v'+C^2_{n}u^{(n-2)}v''+\cdots+C^{n-1}_{n}u'v^{(n-1)}+C^n_{n}uv^{(n)}$
即有求两个函数的高阶导数公式$(u\cdot v)^{(n)}=\sum^n_{k=0}C^k_{n}u^{(n-k)}v^{(k)}$称为莱布尼茨公式，可类比于二项式定理$(a+b)^n=\sum^n_{k=0}C^k_{n}a^{n-k}b^k$

中值定理

费马定理

设函数$f(x)$在点$x_{0}$取得极值，若$f'(x_{0})$存在，则必有$f'(x_{0})=0$

若$f'(x_{0})=0$，那么称$x_{0}$是函数$f(x)$的一个驻点（或称为稳态点、临界点）费马定理指出：可微函数$f(x)$的极值点必为驻点，即是驻点为是极值点的必要条件（不是充要条件）

罗尔中值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，并且满足$f(a)=f(b)$，则$\exists\xi \in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$

定理中的三个条件有一个不满足则结论不成立

拉格朗日中值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则$\exists\xi \in(a,b)$，使得$f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

拉格朗日中值定理是对罗尔中值定理的泛化，去除了$f(a)=f(b)$的条件

柯西中值定理

设函数$f(x)$和$F(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$F'(x)$在$(a,b)$内每一点处均不为零，则$\exists\xi \in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}= \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

柯西中值定理是对拉格朗日中值定理的推广

泰勒公式

如果函数$f(x)$在含有$x_{0}$的某个开区间$(a,b)$内具有直到$(n+1)$阶的导数，则对任一$x \in(a,b)$，有$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+ \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+\dots+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})+R_{n}(x)$其中$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$，称为拉格朗日型余项，其中$\xi$为$x$与$x_{0}$间某值

若取$x_{0}=0$，则$\xi$在$0$与$x$之间，因此可令$\xi=\theta x(0<\theta<1)$，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林公式$f(x)=f(0)+f'(0)x+ \frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$

在不需要余项的精确表达式时，$n$阶泰勒公式也可写为$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+ \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+\dots+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})+o[(x-x_{0})^n]$，其中$R_{n}(x)$的表达式称为佩亚诺型余项

常见泰勒展开式

$$\begin{aligned} &(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \\ &e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\ &a^x = 1 + (\ln a)x + \frac{(\ln a)^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln a)^3}{3!}x^3 + \cdots + \frac{(\ln a)^n}{n!}x^n + o(x^n) \\ &\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \\ &\log_a(1+x) = \frac{1}{\ln a}\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\right) + o(x^n) \\ &\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+1}) \\ &\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k}) \\ &\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots + \sum_{m=1}^k c_m x^{2m-1} + o(x^{2k-1}) \quad(\text{通项用 Bernoulli 数表述}) \\ &\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \cdots + \sum_{m=0}^k E_{2m}\frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2k}) \\ &\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{5x^7}{112} + \cdots + \sum_{m=0}^k \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} + o(x^{2k+1}) \\ &\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\right) + o(x^{2k+1}) \\ &\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + \sum_{m=0}^k (-1)^m\frac{x^{2m+1}}{2m+1} + o(x^{2k+1}) \\ &\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+1}) \\ &\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k}) \\ &\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots + \sum_{m=1}^k g_m x^{2m-1} + o(x^{2k-1}) \\ &\operatorname{arcsinh} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \frac{5x^7}{112} + \cdots + \sum_{m=0}^k (-1)^m\frac{(2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} + o(x^{2k+1}) \\ &\operatorname{arccosh}(1+x) = \sqrt{2x}\left(1 - \frac{x}{12} + \frac{3x^2}{160} - \frac{5x^3}{896} + \cdots \right) + o(x^{k+1/2}) \\ &\operatorname{arctanh} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots + \sum_{m=0}^k \frac{x^{2m+1}}{2m+1} + o(x^{2k+1}) \end{aligned}$$