函数性质

函数的连续性

定义

设$y=f(x)$在点$x_{0}$的某邻域$U(x_{0})$内有定义，给自变量$x$以改变量$\Delta x$,$x_{0}+\Delta x\in U(x_{0})$，对$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$,如果$\lim_{ \Delta x \to 0 }\Delta y=\lim_{ \Delta x \to 0 }[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0$，即$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$，使得当$|\Delta x|<\delta$时有$|f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})|<\varepsilon$，则称函数$f(x)$在点$x_{0}$连续

性质

1. 局部有界性：若$f$在点$x_{0}$连续，则$f$在点$x_{0}$的邻域$U(x_{0})$有界
2. 局部保号性：若$f$在点$x_{0}$连续，且$f(x_{0})>0(<0)$，则对任何正数（负数）$r\in(0,f(x_{0}))(r\in(f(x_{0}),0))$，存在某$U(x_{0})$，使得$\forall x\in U(x_{0})$有$f(x)>r>0(f(x)<r<0)$
3. 连续函数的四则运算法则：若$f(x),g(x)$均在点$x_{0}$连续，则$f(x)\pm g(x)$，$f(x)\cdot g(x)$，$\frac{f(x)}{g(x)}$，都在点$x_{0}$连续
4. 反函数的连续性：如果函数$y=f(x)$在$(a,b)$内严格单调连续，当$x\in(a,b)$时，$y\in I$，则存在定义在区间$I$上的反函数$y=f^{-1}(x)$，且反函数也是严格单调连续的
5. 复合函数的连续性：连续函数的复合函数仍然是连续函数

闭区间上的连续函数

定义

设函数$f(x),x\in I$,对于$x_{0}\in I,\forall x\in I$，若$f(x)\leq f(x_{0})$，则称$f(x_{0})$为$f(x)$在区间$I$上的最大值，$x_{0}$为最大值点；若$f(x)\geq f(x_{0})$，则称$f(x_{0})$为$f(x)$在区间$I$上的最小值，$x_{0}$为最小值点

性质

1. 最值定理：闭区间$[a,b]$上的连续函数$y=f(x)$在区间上取得最值，即存在$\alpha,\beta\in[a,b]$使得$\forall x\in[a,b]$均有$f(\alpha)\leq f(x)\leq f(\beta)$
2. 有界性定理：闭区间$[a,b]$上的连续函数$y=f(x)$在$[a,b]$上有界
3. 零点定理：设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=0$
4. 介值定理：设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\neq f(b)$,则对介于$f(a),f(b)$之间的任意一个数$A$，总存在$\xi\in[a,b]$，使$f(\xi)=A$
   1. 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值
   2. 闭区间上不为常数的连续函数把该闭区间映射为闭区间

间断点及分类

定义

若函数$f(x)$在点$x_{0}$不连续，则称$x_{0}$为函数的间断点

分类

1. 第一类间断点：左右极限均存在的间断点
   1. 可去间断点：左右极限存在且相等
   2. 跳跃间断点：左右极限存在但不相等
2. 第二类间断点：非第一类间断点统称为第二类间断点
   1. 无穷间断点：若$\lim_{ x \to x_{0}}f(x)=\infty$，则称$x_{0}$为$f(x)$的无穷间断点
   2. 振荡间断点：如对$f(x)=\sin \frac{1}{x}$，当$x\to 0$时，函数值在$-1$和$1$之间无限次变动，此时称$x=0$是函数的振荡间断点

单调性与极值

单调性

设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导

1. 如果在$(a,b)$内$f'(x)\geq 0$，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调递增
2. 如果在$(a,b)$内$f'(x)\leq 0$，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调递减

极值

第一充分条件

设函数$f(x)$在$U(x_{0})$内连续，在$\mathring{U}(x_{0})$内可导，且$\forall x \in U(x_{0})$

1. 若$x<x_{0}$时，$f'(x)>0$;$x>x_{0}$时，$f'(x)<0$,则$x_{0}$是极大值点
2. 若$x<x_{0}$时，$f'(x)<0$;$x>x_{0}$时，$f'(x)>0$,则$x_{0}$是极小值点
3. 如果在点$x_{0}$的两侧，$f'(x)$保持同号，则$f(x)$单调，$x_{0}$不是极值点

第二充分条件

设函数$f(x_{0})$在$x_{0}$处具有二阶导数且$f'(x_{0})=0$，$f''(x_{0})\neq 0$，则

1. 当$f''(x_{0})>0$时，函数$f(x)$在$x_{0}$处取得极小值
2. 当$f''(x_{0})<0$时，函数$f(x)$在$x_{0}$处取得极大值

推广：
若函数$f(x)$在$x_{0}$处存在$n$阶导数，且$f'(x_{0})=f''(x_{0})=\cdots=f^{(n-1)}(x_{0})=0$,但$f^{(n)}(x_{0})\neq 0$，则

1. 当$n$是奇数时，$x_{0}$不是函数的极值点
2. 当$n$是偶数时，$x_{0}$是函数的极值点，此时若$f^{(n)}(x_{0})>0$,则$x_{0}$是极小值点；此时若$f^{(n)}(x_{0})《0$,则$x_{0}$是极大值点

最值

连续函数在区间内有唯一极大（小）值，则该极大（小）值为函数的最大（小）值

曲线的凸性

定义

设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对$I$上任意两点$x_{1},x_{2}$和任意实数$\lambda \in(0,1)$总有$f[\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}]\leq\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})$则称$f$为区间$I$上的下凸函数，称曲线$y=f(x)$在区间$I$上是下凸的，反之若总有$f[\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}]\geq\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})$则称$f$为区间$I$上的上凸函数，称曲线$y=f(x)$在区间$I$上是上凸的

定理

1. 设函数$f$在区间$I$上可导，则$f$在区间$I$上下凸（上凸）的充要条件是$f'(x)$在区间$I$上单调递增（递减）
2. 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内具有二阶导数，那么
   1. 若在$(a,b)$内$f''(x)>0$,则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是下凸的
   2. 若在$(a,b)$内$f''(x)<0$,则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是上凸的

渐进线

定义

若曲线$C$上的动点$P$沿着曲线地远离原点时，点$P$与某一固定直线$L$的距离趋于零，则称直线$L$为曲线$C$的渐近线，特别地

1. 若$\lim_{ x \to \infty }f(x)=A$，则直线$y=A$是曲线$y=f(x)$的一条水平渐近线
2. 若$\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=\infty$，则直线$x=x_{0}$是曲线$y=f(x)$的一条铅直渐近线
3. 若存在$k=\lim_{ x \to \pm \infty } \frac{f(x)}{x},b=\lim_{ x \to \pm \infty }[f(x)-kx]$，则$y=kx+b$是$y=f(x)$的渐近线