线性方程组

相关概念

则线性方程组$n$个未知数$m$个方程的线性方程组的一般形式：

$$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m_{2}}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{n} \end{cases}$$

若常数项$b_{1},b_{2},\dots,b_{n}$不全为零则称方程组为非齐次线性方程组
若常数项$b_{1},b_{2},\dots,b_{n}$全为零则称方程组为齐次线性方程组
矩阵形式：$\boldsymbol{Ax=b}$
向量形式：$x_{1}\boldsymbol{\alpha_{1}}+x_{2}\boldsymbol{\alpha_{2}}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha_{n}}=\boldsymbol{b}$
其中$\boldsymbol{A=}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha_{1}} & \boldsymbol{\alpha_{2}} & \dots & \boldsymbol{\alpha_{n}}\end{pmatrix}:系数矩阵$
$\boldsymbol{x=}\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}，\boldsymbol{b=}\begin{pmatrix}b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}，\boldsymbol{y= }\begin{pmatrix}y_{1} \\y_{2} \\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}$
$(\boldsymbol{A,b})=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_{1}\\a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} & b_{2}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_{m}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}} ,\boldsymbol{b}\end{pmatrix}:增广矩阵$
如果 $x_1 = c_1, x_2 = c_2, \cdots, x_n = c_n$ 满足 $\boldsymbol{Ax = b}$ 中的每一个方程，则称 $\boldsymbol{x}= (c_1, c_2, \cdots, c_n)^T$ 为方程组的一个解（向量）
显然 $x_1 = 0, x_2 = 0, \cdots, x_n = 0$ 是 $\boldsymbol{Ax = 0}$ 的一个解，称之为零解或平凡解
解集：线性方程组的所有解构成的集合。
相容方程组：有解的线性方程组。
不相容（矛盾）方程组：无解的线性方程组。
同解方程组：有相同的解集的线性方程组。

高斯消元法

将方程组看成一个整体加以等价变形，对方程组做三种变换：方程组变形为“阶梯形方程组”，再回代求解。

$$\left\{ \begin{aligned} &(1)\ \text{交换某两个方程的位置；} \\ &(2)\ \text{某个方程除以非零常数；} \\ &(3)\ \text{将某个方程的 } k \text{ 倍加到另一个方程上。} \end{aligned} \right.$$

这三种变换对应矩阵的三种初等行变换。
上述过程可以在方程组的增广矩阵上实现：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使之化为行最简形，从而读出方程组的解

是否有解的判别方法

增广矩阵角度

设线性方程组$\boldsymbol{Ax = b}$的增广矩阵的行最简形矩阵为

$$(\boldsymbol{A,b}) \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{1,r+1} & \cdots & b_{1n} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{2,r+1} & \cdots & b_{2n} & d_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r,r+1} & \cdots & b_{rn} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

则有：

1. 当 $d_{r+1} \neq 0$ 时，方程组无解
2. 当 $d_{r+1} = 0$ 且 $r = n$ 时，方程组有唯一解
3. 当 $d_{r+1} = 0$ 且 $r < n$ 时，方程组有无穷多解
4. $\boldsymbol{Ax = 0}$ 总是有解，且当 $r = n$ 时，方程组只有零解，$r < n$ 时，有非零解

系数矩阵角度

设$\boldsymbol{A}$是$m\times n$矩阵，对齐次线性方程组$\boldsymbol{Ax=0}$来说，下列命题等价：

1. $\boldsymbol{Ax=0}$有非零解
2. $\boldsymbol{A}$的列向量组线性相关
3. $r(\boldsymbol{A})<n$
4. 若有$m=n,则|\boldsymbol{A}|=0$

设$\boldsymbol{A}$是$m\times n$矩阵，对非齐次线性方程组$\boldsymbol{Ax=b}$来说，下列命题等价：

1. $\boldsymbol{Ax=b}$有解
2. $\boldsymbol{b}$可用$\boldsymbol{A}$的列向量组线性表示
3. $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A,b})$
   $r(\boldsymbol{A})<r(\boldsymbol{A,b})\Leftrightarrow\boldsymbol{Ax=b}$无解，且此时$r(\boldsymbol{A,b})=r(\boldsymbol{A})+1$

齐次线性方程组的解

性质

若$\boldsymbol{\xi_{1},\xi_{2},\dots,\xi_{s}}$为$\boldsymbol{Ax=0}$的解，则$\forall k_{1},k_{2},\dots,k_{s}\in \mathbb{R}$，$k_{1}\boldsymbol{\xi_{1}}+k_{2}\boldsymbol{\xi_{2}}+\dots+k_{s}\boldsymbol{\xi_{s}}$也是$\boldsymbol{Ax=0}$的解

基础解系

定义

设$\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{s}}$是齐次线性方程组$\boldsymbol{Ax=0}$的$s$个解，如果满足以下条件：

1. $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{s}}$线性无关
2. $\boldsymbol{Ax=0}$的任一解$\boldsymbol{\alpha}$都可由$\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{s}}$线性表示
   则称$\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{s}}$为$\boldsymbol{Ax=0}$的基础解系

$\boldsymbol{Ax=0}$的基础解系就是它的解向量组的一个极大无关组
$\boldsymbol{Ax=0}$的基础解系不唯一，但基础解系中向量的个数是唯一的

性质

$n$元齐次线性方程组$\boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x=0}$当$r(\boldsymbol{A})=r<n$时存在基础解系，且基础解系中含有$n-r$个解向量

1. 当$r(\boldsymbol{A})=n$时，方程组$\boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x=0}$只有零解，此时没有基础解系
2. 当$r(\boldsymbol{A})=r<n$时，方程组$\boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x=0}$的基础解系为$\xi_{1},\xi_{2},\dots,\xi_{n-r}$则$\boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x=0}$的解集$S$可表示为$S=\left\{ \boldsymbol{x}=k_{1}\boldsymbol{\xi_{1}}+k_{2}\boldsymbol{\xi_{2}}+\dots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi_{n-r}} \right\}$
   $S$：$\boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x=0}$的解空间（在线性变换$\boldsymbol{A}_{m\times n}$中被压缩至原点的空间，也叫零空间），它有基础解系张成，$\dim S=n-r$
3. "$n-r$"的含义：
4. $n$:未知数的个数；系数矩阵$\boldsymbol{A}$的列数
5. $r$:系数矩阵$\boldsymbol{A}$的秩；同解方程组中有效方程组的个数；非自由未知数的个数
6. $n-r$:自由未知数的个数；基础解系中解向量的个数；解空间的维数

求解方法

1. 化行最简形（RREF）
   对系数矩阵$\boldsymbol{A}$作初等行变换，化为 RREF。

2. 确定主变量与自由变量

   • 主元列$\to$主变量
   • 非主元列$\to$自由变量
   • 设 $\operatorname{rank}(A) = r$，未知数个数为 $n$，则自由变量个数为 $n - r$。
   • 若 $r = n$，只有零解，无基础解系。

3. 构造基础解系
   对每个自由变量：

   • 令该自由变量 = 1，其余自由变量 = 0；
   • 代入方程解出主变量，得到一个解向量。

4. 结果
   得到 $n - r$ 个线性无关解向量，即为基础解系。

eg:

求齐次线性方程组

$$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 0, \\ 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 0, \\ 7x_1 - 7x_2 + 3x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$$

的基础解系和通解。

解：用初等行变换将方程组的系数矩阵化为行最简形：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & 3 & 2 \\ 7 & -7 & 3 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2/7 & -3/7 \\ 0 & 1 & -5/7 & -4/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程组为：

$$\begin{cases} x_1 = \dfrac{2}{7}x_3 + \dfrac{3}{7}x_4, \\ x_2 = \dfrac{5}{7}x_3 + \dfrac{4}{7}x_4, \end{cases}$$

令 $x_3 = k_1,\ x_4 = k_2$，代入得通解为：

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{7}k_1 + \dfrac{3}{7}k_2 \\ \dfrac{5}{7}k_1 + \dfrac{4}{7}k_2 \\ k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 2/7 \\ 5/7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 3/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad (k_1, k_2 \in \mathbb{R})$$

基础解系为：

$$\xi_1 = \begin{pmatrix} 2/7 \\ 5/7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} 3/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

eg2:

设 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{B}_{n \times l} = O$，证明 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leq n$:
将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{0}$ 按列分块，由 $\boldsymbol{ AB = O }$ 可得：

$$\boldsymbol{A(b_1, b_2, \dots, b_l) = (0, 0, \dots, 0) \Rightarrow Ab_i = 0 \quad (i = 1,2,\dots,l)}$$

这说明 $\boldsymbol{b_1, b_2, \dots, b_l}$ 都是 $ Ax = 0 $ 的解向量。

1. 若 $\boldsymbol{B = O}$，则 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{A}) \leq n$。
2. 若 $\boldsymbol{B \neq O}$，则 $\boldsymbol{ Ax = 0 }$ 有非零解，从而有基础解系：

$$\boldsymbol{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_{n - r}, \quad (r = r(A))}$$

且 $\boldsymbol{b_1, b_2, \dots, b_l}$ 可由 $\boldsymbol{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_{n - r}}$ 线性表示，从而：

$$r(B) = r(b_1, b_2, \dots, b_l) \leq r(\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_{n - r}) = n - r(A)$$

因此：

$$r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leq n$$

非齐次线性方程组的解

性质

1. 设 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2$ 都是 $\boldsymbol{Ax=b}$ 的解，则 $\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2$ 为其导出组 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的解
2. 设 $\boldsymbol{\eta}$ 是 $\boldsymbol{Ax=b}$ 的解，$\boldsymbol{\xi}$ 是对应的 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的解，则 $\boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}$ 仍为$\boldsymbol{Ax = b}$ 的解
3. 设 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_n$ 都是 $\boldsymbol{Ax=b}$ 的解，则$k_1\boldsymbol{\eta}_1 + k_2\boldsymbol{\eta}_2 + \cdots + k_n\boldsymbol{\eta}_n \quad (k_1 + k_2 + \cdots + k_n = 1)$是 $\boldsymbol{Ax=b}$ 的解。
4. $\boldsymbol{Ax=b}$ 的任一解都可表示成 $\boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}$，其中 $\boldsymbol{\xi}$ 是其导出组$\boldsymbol{Ax=0}$ 的某个解，$\boldsymbol{\eta}$ 是 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的某个解。

结构

设$\boldsymbol{\xi_{1},\xi_{2},\dots,\xi_{n-r}}$为$\boldsymbol{Ax=0}$的基础解系，$\boldsymbol{\eta}^*$是$\boldsymbol{Ax=b}$的一个特解，则$\boldsymbol{Ax=b}$的通解是$\boldsymbol{x}=k_{1}\boldsymbol{\xi_{1}}+k_{2}\boldsymbol{\xi_{2}}+\dots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi_{n-r}}+\boldsymbol{\eta}^*$

即非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解

求解方法

1. 将增广矩阵 $(\boldsymbol{A,b})$ 做行变换化成行阶梯形，写出 $r(\boldsymbol{A})$ 和 $r(\boldsymbol{A,b})$，若 $r(\boldsymbol{A}) < r(\boldsymbol{A,b})$，则方程组无解。
2. 若 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A,b})$，继续将 $(\boldsymbol{A,b})$ 化成行最简形。
3. 设 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A,b}) = r$，将行最简形中 $r$ 个非零行的非零首元对应的未知数取作非自由未知数，其余 $n - r$ 个未知数取作自由未知数，写出含有 $n - r$ 个参数的通解。

eg1:

求解线性方程组

$$\begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1 \\ x_1 - x_2 - 2x_3 + 3x_4 = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$$

对增广矩阵进行初等行变换：

$$(\boldsymbol{A,b}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 3 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -2 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

因为 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A,b}) = 2 < 4$，故方程组有无穷多解。
取 $x_2 = x_4 = 0$ 代入原方程组的同解方程组：

$$\begin{cases} x_1 = x_2 + x_4 + \dfrac{1}{2} \\ x_3 = 2x_4 + \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

得原方程组的一个特解为：

$$\boldsymbol{\eta}^* = \left( \dfrac{1}{2},\ 0,\ \dfrac{1}{2},\ 0 \right)^T$$

再取 $\begin{pmatrix} x_2 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 代入导出组的同解方程组：

$$\begin{cases} x_1 = x_2 + x_4 \\ x_3 = 2x_4 \end{cases}$$

得导出组的基础解系为：

$$\boldsymbol{\xi}_1 = (1, 1, 0, 0)^T,\quad \boldsymbol{\xi}_2 = (1, 0, 2, 1)^T$$

于是所求通解为：

$$\boldsymbol{x} = k_1 (1, 1, 0, 0)^T + k_2 (1, 0, 2, 1)^T + \left( \dfrac{1}{2},\ 0,\ \dfrac{1}{2},\ 0 \right)^T \quad (k_1, k_2 \in \mathbb{R})$$

eg2:

试确定 $\lambda$ 的值，使非齐次线性方程组

$$\begin{cases} (1 + \lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + (1 + \lambda)x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + (1 + \lambda)x_3 = \lambda \end{cases}$$

(1) 有唯一解，(2) 无解，(3) 有无穷多解，并求其通解。

方程组的系数行列式为：

$$|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} 1 + \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2(\lambda + 3)$$

(1) 当 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$，即 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，方程组有唯一解。
(2) 当 $\lambda = 0$ 时，

$$(\boldsymbol{A,b}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

此时 $r(\boldsymbol{A}) = 1$，$r(\boldsymbol{A,b}) = 2$，故方程组无解。
(3) 当 $\lambda = -3$ 时，

$$(\boldsymbol{A,b}) = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

此时 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A,b}) = 2 < 3$，方程组有无穷多解。
同解方程组为：

$$\begin{cases} x_1 = x_3 - 1 \\ x_2 = x_3 - 2 \end{cases}$$

令 $x_3 = c$（$c \in \mathbb{R}$），得通解为：

$$\begin{cases} x_1 = c - 1 \\ x_2 = c - 2 \\ x_3 = c \end{cases} \quad (c \in \mathbb{R})$$