行列式

定义

将 $n^{2}$ 个数 $a_{ij}（i，j=1,2,\dots,n）$ 排列成 $n$ 行 $n$ 列，记为

$$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

其值定义为

$$ \sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}} $$

($\boldsymbol{\tau}$ 表示排列的逆序数)简记作

$$ D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}_{n\times n} $$

或

$$ \begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}^{n}_{1} $$

或 $\det(a_{ij})$

（1）n 阶行列式是一个数或一个式子
（2）$(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}}$ 是行列式的一般项，其中 $a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}}$ 表示取自不同行不同列的 n 个元素的积
（3）

$$ \sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} $$

表示对所有 n 元排列 $j_{1}j_{2}\dots j_{n}$ 对应项求和，共 $n!$ 项，当不会引起混淆时可简写为 $\sum$

（4）当 n=1 时，规定

$$ \begin{vmatrix}a\end{vmatrix}=a $$

由定义可以得到：
（1）若行列式的某行或某列元素全为 0，则该行列式值为 0
（2）若行列式中 0 元素的个数多于 $n^{2}-n$ 个则行列式的值为 0，或者说若行列式中非 0 元素的个数少于 $n$ 个则行列式的值为 0

转置行列式

将

$$ D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

的行与列互换得到的新行列式称为转置行列式记为 $D^{T}$，即如果

$$ D=\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} $$

则

$$ D^{T}=\begin{vmatrix}a_{11}& a_{21} & \dots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} $$

性质

性质一：行列式与它的转置行列式的值相等，即 $D=D^{T}$

eg:

$$ \begin{vmatrix}2 & 0 & 1 \\1 & -4 & -1 \\-1 & 8 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\0 & -4 & 8 \\1 & -1 & 3\end{vmatrix}=-4 $$

行列式中行与列具有相同的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也成立。

证明：

$$ \begin{aligned} &设D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}的转置行列式为D^{T}=\begin{vmatrix}b_{ij}\end{vmatrix}，则\boldsymbol{b_{ij}=a_{ji}}(i,j=1,2,\dots,n)\\&于是D^{T}=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}b_{1j_{1}}b_{2j_{2}}\dots b_{nj_{n}}=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{j_{1}1}a_{j_{2}2}\dots a_{j_{n}n}\\&对换因子的位置使得a_{j_{1}1}a_{j_{2}2}\dots a_{j_{n}n}=a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\dots a_{p_{n}n}\\&假设共对换了m次，即m次对换将排列j_{1}j_{2}\dots j_{n}变成12\dots n\\&同时也将12\dots n变成了p_{1}p_{2}\dots p_{n}\\&从而\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})与\tau(p_{1}p_{2}\dots p_{n})具有相同的奇偶性\\&于是D^{T}=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{j_{1}1}a_{j_{2}2}\dots a_{j_{n}n}=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(p_{1}p_{2}\dots p_{n})}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\dots a_{np_{n}}\\&所以D^{T}=D \end{aligned} $$

性质二：互换行列式中任意两行（列）的位置，行列式变号

eg:

$$ \begin{vmatrix}2 & 0 & 1 \\1 & -4 & -1 \\-1 & 8 & 3\end{vmatrix}=-4 \; \begin{vmatrix}1 & -4 & -1 \\2 & 0 & 1 \\-1 & 8 & 3\end{vmatrix}=4 $$

证明：

$$ \begin{aligned} &设D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{22} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{t1} & a_{t2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{tn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{s1} & a_{s2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{sn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &互换D第s行和第t行，得到新的行列式 \\ &D_{1}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{22} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{s1} & a_{s2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{sn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{t1} & a_{t2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{tn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &由行列式的定义有： \\ &D=\sum_{p_{1}\dots p_{s} \dots p_{t}\dots p_{n}} (-1)^{\tau(p_{1}\dots p_{s} \dots p_{t}\dots p_{n})}a_{1p_{1}}\dots a_{sp_{s}}\dots a_{tp_{t}}\dots a_{np_{n}} \\ &D_{1}=\sum_{p_{1}\dots p_{t} \dots p_{s}\dots p_{n}} (-1)^{\tau(p_{1}\dots p_{t} \dots p_{s}\dots p_{n})}a_{1p_{1}}\dots a_{tp_{t}}\dots a_{sp_{s}}\dots a_{np_{n}} \\ &\because\tau(p_{1}\dots p_{s} \dots p_{t}\dots p_{n})=-\tau(p_{1}\dots p_{t} \dots p_{s}\dots p_{n}) \\ &a_{1p_{1}}\dots a_{sp_{s}}\dots a_{tp_{t}}=a_{1p_{1}}\dots a_{tp_{t}}\dots a_{sp_{s}} \\ &\therefore D=-D_{1} \end{aligned} $$

推论一：若行列式 $D$ 有两行（列）对应元素相同，则 $D=0$

证明：互换 $D$ 中相同的两行，有 $D=-D\Rightarrow D=0$

eg:

$$ \begin{vmatrix}2 & 0 & 1 \\2 & 0 & 1 \\-1 & 8 & 3\end{vmatrix}=0 $$

性质三： 用数 k 乘行列式的某一行（列）的各元素，等于用数 k 乘此行列

eg:

$$ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ ka_{s1} & ka_{s2} & \dots & \dots & ka_{sn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{s1} & a_{s2} & \dots & \dots & a_{sn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} $$

证明:

$$ \begin{aligned} &由行列式的定义： \\ &左式=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}\dots ka_{sj_{s}}\dots a_{nj_{n}} \\ &=k\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}\dots a_{sj_{s}}\dots a_{nj_{n}}=右式 \end{aligned} $$

推论一：行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面

eg:

$$ \begin{vmatrix}2 & 4\\3 & 4\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{vmatrix} $$

推论二：若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式等于 0

eg:

$$ \begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\2 & 4 & 2 \\-1 & 8 & 3\end{vmatrix}=0 $$

性质四：若行列式中某一行（列）的元素都是两个数之和，则它等于除改行外其余元素不变的两个行列式之和

eg:

$$ \begin{aligned} &\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & a_{1n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{i1}+b_{i1} & a_{i_{2}}+b_{i2} & \dots & \dots & a_{in}+b_{in} \\\vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & a_{1n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{i1} & a_{i_{2}} & \dots & \dots & a_{in} \\\vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & a_{1n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\b_{i1} & b_{i2} & \dots & \dots & b_{in} \\\vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \end{aligned} $$

证明：

$$ \begin{aligned} &左式=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}\dots (a_{i1}+b_{i1})\dots a_{nj_{n}} \\ &=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}\dots a_{i1}\dots a_{nj_{n}} \\ &+\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}\dots b_{i1}\dots a_{nj_{n}}=右式 \end{aligned} $$

（1）该性质可以拓展至 n 个数之和，即若存在某一行（列）的元素均为 n 个数之和，那么行列式可以写成 n 个行列式之和

（2）若行列式的某 m 行（列）的元素均为 n 个数之和，那么该行列式可以写成 $n^{m}$ 个行列式之和

性质五：把行列式中某一行（列）k 倍加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变

eg:

$$ \begin{aligned} &\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1}+ka_{j1} & a_{i2}+ka_{j2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{in}+ka_{jn} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{jn} \\\vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{in} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{jn} \\\vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & \dots & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \end{aligned} $$

计算

三角形行列式——三角化法

下三角形行列式，形如：

$$ D=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\dots&0 \\ a_{21}&a_{22}&\dots&0 \\\vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix} $$

即主对角线以上的元素全为 0 的行列式。

求解过程：

$$ \begin{aligned} &D=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}} \\ &要使a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}}不为零，必须\\ &j_{1}=1,j_{2}=2,\dots,j_{n}=n\\ &\because\tau(12\dots n)=0,\therefore D=a_{11}a_{22}\dots a_{nn} \end{aligned} $$

同理，上三角形行列式：

$$ D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} \\ 0&a_{22}&\dots&a_{2n} \\\vdots &\vdots&\ddots&\vdots \\0&0&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn} $$

对角行列式：

$$ D=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\dots&0 \\ 0&a_{22}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn} $$

特殊地，副对角行列式：

$$ D_{n}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots &\lambda _{1} \\ 0 & \cdots & \lambda_{2} & 0 \\ \vdots &\text{⋰}& \vdots & \vdots \\ \lambda_{n} & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix} $$

求解过程：

$$ \begin{aligned} &由行列式的定义D_{n}=\sum_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}} \\&要使得a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}}不为0，只有\\&j_{1}=n, j_{2}=n-1, \dots,j_{n}=1\\&故D_{n}=(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\dots j_{n})a_{n1}a_{n-1,2}\dots a_{1n}}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\lambda_{1}\lambda_{2}\dots\lambda_{n} \end{aligned} $$

行列式的展开——降阶法

余子式和代数余子式

定义：在

$$ D_{n}=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

中, 去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第𝑖行和第𝑗列,
余下的元素按照原来的次序构成的𝑛−1 阶行列式, 称为

$$ \begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

的余子式，记作 $M_{ij}$，称 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为

$$ \begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

的代数余子式

eg:

$$ \begin{aligned} &在D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}中 \\ &M_{33}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41}& a_{42} & a_{44}\end{vmatrix},A_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=M_{33} \\ &M_{23}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14} \\a_{31} & a_{32} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{44}\end{vmatrix},A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23} \end{aligned} $$

1 .行列式 $D$ 中每个元素 $a_{ij}$ 分别对应着一个余子式 $M_{ij}$ 和一个代数余子式 $A_{ij}$

2 . $M_{ij},A_{ij}$ 与行列式 $D$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素无关

在

$$ D_{n}=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

中任取 $k$ 行 $k$ 列 $(1\leq k\leq n)$，位于其交叉点的 $k^2$ 个元素按原来的相对位置构成一个 $k$ 阶行列式 $M$，称 $M$ 为 $D$ 的一个 $k$ 阶子式，$D$ 中剩下的所有元素按原来的相对位置构成的 $n-k$ 阶行列式 $M^*$称为 $M$ 的余子式，若 $M$ 中元素在 $D$ 中的行标和列标分别为 $i_{1},i_{2},\dots,i_{k}$ 和 $j_{1},j_{2},\dots,j_{k}$则称 $(-1)^{(i_{1}+i_{2}+\dots+i_{k})+(j_{1}+j_{2}+\dots+j_{k})}M^*$ 为 $M$ 的代数余子式，例如：

$$ \begin{aligned} &在D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}中， \\ &M=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} \\a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}是D的一个2阶子式\\ &M^*=\begin{vmatrix}a_{32} & a_{34} \\a_{42} & a_{44}\end{vmatrix}是M的余子式 \\ &(-1)^(1+2+1+3)M^*=-M^*为M的代数余子式 \end{aligned} $$

行列式按行（列）展开定理

利用余子式和代数余子式，有

$$ \begin{aligned} D&=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} \\ &=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{13}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} \\ &=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} \end{aligned} $$

即

$$ D_{n}=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}(i=1,2,\dots,n)$ 或 $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2,\dots,n)$

推论：n 阶行列式

$$ D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix} $$

的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\dots+a_{in}A_{jn}=0(i\neq j)$ 或 $D=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\dots+a_{ni}A_{nj}(i\neq j)$

证明：

$$ \begin{aligned} &将D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}按第j行展开，得 \\ &D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}=\begin{vmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n} \\\vdots & & \vdots \\a_{i1} & \dots & a_{in} \\\vdots & & \vdots \\a_{j1} & \dots & a_{jn} \\\vdots & & \vdots\\a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \\ &把D中a_{ik}换成a_{jk}(k=1,2,\dots,n)，当i\neq j时，可得 \\ &a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+\dots+a_{jn}A_{in}=\begin{vmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n} \\\vdots & & \vdots \\a_{j1} & \dots & a_{jn} \\\vdots & & \vdots \\a_{j1} & \dots & a_{jn} \\\vdots & & \vdots\\a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \\ &所以a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+\dots+a_{jn}A_{in}=0 \end{aligned} $$

---

定理和推论合起来可写作：

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_{ {\color{red}i}k}A_{ {\color{red}j}k}=D\delta_{ij} \\ \sum_{k=1}^n a_{k{\color{red}i} }A_{k{\color{red}j} }=D\delta_{ij} \end{aligned} $$

其中

$$ \delta_{ij}=\begin{cases}1,i=j\\0,i\neq j\end{cases} $$

为 Kronecker 符号

降阶法

利用性质 2,3,5 将行列式的某行(列)化为只有尽量少的非零元(最好只有一个), 再按该行(列)展开

eg1:

$$ \begin{aligned} 计算行&列式D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix} \\ 解：D &= \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix}\xrightarrow[\text{c}_4 + \text{c}_3]{\text{c}_1 - 2\text{c}_3}\begin{vmatrix} 5 & 1 & -1 & 1 \\ -11 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -5 & -5 & 3 & 0 \end{vmatrix} \\ &= (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ -11 & 1 & -1 \\ -5 & -5 & 0 \end{vmatrix} \xrightarrow{\text{r}_2 + \text{r}_1} \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ -6 & 2 & 0 \\ -5 & -5 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^4 \begin{vmatrix} -6 & 2 \\ -5 & -5 \end{vmatrix} = 40. \end{aligned} $$

eg2:

$$ \begin{aligned} &证明：行列式D_{2n} = \begin{vmatrix} a & & & & & & & b \\ & a & & & & & b & \\ & & \ddots & & & \text{⋰} & & \\ & & & a & b & & & \\ & & & c & d & & & \\ & & \text{⋰} & & & \ddots & & \\ & c & & & & & d & \\ c & & & & & & & d \end{vmatrix} = (ad - bc)^n \\ &解一：原式=a \cdot \begin{vmatrix} a & & & & & b & 0 \\ & \ddots & & & \text{⋰} & & \\ & & a & b & & & \\ & & c & d & & & \\ & \text{⋰} & & &\ddots & & \\ c & & & & & d & 0 \\ 0 & & & & & 0 & d \end{vmatrix} + c \cdot (-1)^{1+2n} \begin{vmatrix} 0 & & & & & 0 & b \\ a & & & & & b & 0 \\ & \ddots & & & \text{⋰} & & \\ & & a & b & & & \\ & & c & d & & & \\ & \text{⋰} & & & \ddots & & \\ c & & & & & d & 0 \end{vmatrix} \\ &= adD_{2n-2} + c \cdot (-1)^{1+2n} \cdot b \cdot (-1)^{2n} D_{2n-2} = (ad - bc)D_{2n-2} = \cdots \\ &解二：将D_{2n}的第2n行依次与第2n-1, 2n-2,\cdots 3,2行交换，共换(2n-2)次，换至第2行， \\ &再将D_{2n}的第2n列依次与第2n-1, 2n-2, \cdots 3,2列交换，共换(2n-2)次，换至第2列，得 \\ &D_{2n} = (-1)^{2(2n-2)} \cdot \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ c & d & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a & & & & & b \\ \vdots & \vdots & & \ddots & & & \text{⋰} & \\ \vdots & \vdots & & & a & b & \\ \vdots & \vdots & & & c & d & \\ \vdots & \vdots & & \text{⋰} & & & \ddots & \\ 0 & 0 & c & & & & & d \end{vmatrix} \\ &= D_2 \cdot D_{2n-2} = (ad - bc) \cdot D_{2n-2} = (ad - bc)^n \end{aligned} $$

加边法

1. 构造高一阶行列式
   在原 $n$ 阶行列式基础上，增加一行一列，形成 $(n+1)$ 阶行列式 $D_{n+1}$。

   • 加边方式需使 $D_{n+1}$ 具有易计算结构（如范德蒙德、三角形、对角形等）。
   • 可引入辅助变量（如 $y$）或直接添加常数/参数行/列。

2. 建立与原行列式的关系
   确保原行列式 $D_n$ 是 $D_{n+1}$ 的某个代数余子式（或通过展开可直接提取）。

3. 计算高阶行列式
   利用其特殊结构（如范德蒙德公式、三角阵行列式=对角积等）求出 $D_{n+1}$ 的表达式。

4. 通过展开或系数比较还原 $D_n$

   • 若引入变量（如 $y$），将 $D_{n+1}$ 表示为多项式，比较特定幂次项系数。
   • 若未引入变量，常通过初等行/列变换化简 $D_{n+1}$ 为三角阵，再按加边行/列展开，直接得到 $D_n$。

eg:

$$ \begin{aligned} &计算D_4 = \begin{vmatrix} x_1 & b_1 a_2 & b_1 a_3 & b_1 a_4 \\ b_2 a_1 & x_2 & b_2 a_3 & b_2 a_4 \\ b_3 a_1 & b_3 a_2 & x_3 & b_3 a_4 \\ b_4 a_1 & b_4 a_2 & b_4 a_3 & x_4 \\ \end{vmatrix}, \quad (x_i - a_i b_i \neq 0, i=1,2,3,4).\\ &D_4 = \begin{vmatrix} x_1 & b_1 a_2 & b_1 a_3 & b_1 a_4 \\ b_2 a_1 & x_2 & b_2 a_3 & b_2 a_4 \\ b_3 a_1 & b_3 a_2 & x_3 & b_3 a_4 \\ b_4 a_1 & b_4 a_2 & b_4 a_3 & x_4 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 0 & x_1 & b_1 a_2 & b_1 a_3 & b_1 a_4 \\ 0 & b_2 a_1 & x_2 & b_2 a_3 & b_2 a_4 \\ 0 & b_3 a_1 & b_3 a_2 & x_3 & b_3 a_4 \\ 0 & b_4 a_1 & b_4 a_2 & b_4 a_3 & x_4 \\ \end{vmatrix} \\ &\underset{i=1,2,3,4}{\xlongequal{r_{i+1} - b_i \times r_1}} \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ -b_1 & x_1 - a_1 b_1 & 0 & 0 & 0 \\ -b_2 & 0 & x_2 - a_2 b_2 & 0 & 0 \\ -b_3 & 0 & 0 & x_3 - a_3 b_3 & 0 \\ -b_4 & 0 & 0 & 0 & x_4 - a_4 b_4 \\ \end{vmatrix}\\ &\underset{i=1,2,3,4}{\xlongequal{c_1 + \frac{b_i}{x_i - a_i b_i} \times c_{i+1}}} \begin{vmatrix} 1 + \sum_{i=1}^{4} \frac{a_i b_i}{x_i - a_i b_i} & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 0 & x_1 - a_1 b_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_2 - a_2 b_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x_3 - a_3 b_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_4 - a_4 b_4 \\ \end{vmatrix}\\ &= \left(1 + \sum_{i=1}^{4} \frac{a_i b_i}{x_i - a_i b_i}\right) (x_1 - a_1 b_1)(x_2 - a_2 b_2)(x_3 - a_3 b_3)(x_4 - a_4 b_4). \end{aligned} $$

递推公式法

eg:

$$ \begin{aligned} &计算三对角行列式D_n = \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ c & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & c & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c & a \end{vmatrix} \\ &解：将行列式按第一列展开，得：\\ &D_n = aD_{n-1} - c \cdot \begin{vmatrix} b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ c & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & b \\ 0 & 0 & \cdots & c & a \end{vmatrix} = aD_{n-1} - bcD_{n-2}, \text{ 且 } D_1 = a,D_2 = a^2 - bc. \\ &设 D_n - \alpha D_{n-1} = \beta (D_{n-1} - \alpha D_{n-2}), 将它与已知的递推公式比较可得：\\ &\alpha + \beta = a, \alpha\beta = bc, 即\alpha, \beta是方程x^2 - ax + bc = 0的两个根. 即\alpha, \beta = \dfrac{a \pm \sqrt{a^2 - 4bc}}{2} \\ &由D_n - \alpha D_{n-1} = \beta (D_{n-1} - \alpha D_{n-2}) = \beta^2 (D_{n-2} - \alpha D_{n-3}) \\ &= \cdots = \beta^{n-2} (D_2 - \alpha D_1) = \beta^{n-2} (a^2 - bc - \alpha a) = \beta^n \\ &\implies D_n = \beta^n + \alpha D_{n-1} = \beta^n + \alpha(\beta^{n-1} + \alpha D_{n-2}) = \beta^n + \alpha\beta^{n-1} + \alpha^2 D_{n-2} = \cdots = \beta^n + \alpha\beta^{n-1} + \cdots + \alpha^{n-2}\beta^2 + \alpha^{n-1} D_1 \\ &= \beta^n + \alpha\beta^{n-1} + \cdots + \alpha^{n-2}\beta^2 + \alpha^{n-1} (\alpha + \beta) \\ &解得D_n = \begin{cases} \dfrac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\alpha - \beta}, & a^2 \ne 4bc \\ \dfrac{(n+1)a^n}{2^n}, & a^2 = 4bc \end{cases}其中\alpha, \beta 为x^2 - ax + bc = 0的两个根 \end{aligned} $$

Vandermonde 行列式

$$ D_{n}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \dots & a_{n}^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq j

Laplace 定理

定理：设在 $D$ 中取定某 $k(1\leq k\leq n)$ 行（列），得到的所有 $k$ 阶子式为 $M_{1},M_{2},\dots,M_{t}$，对应的代数余子式分别为 $A_{1},A_{2},\dots,A_{t}$ 这里 $t=C_{n}^{k}$，则 $D=M_{1}A_{1}+M_{2}A_{2}+\dots+M_{t}A_{t}$

eg:

如：

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & \\ \vdots & & \vdots & & \textbf{0} & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} $$

.

在 $D$ 中取定前 $k$ 行, 得到的非零子式仅有

$$ M = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix} $$

, 对应的代数余子式为

$$ A = (-1)^{(1+2+\cdots+k)+(1+2+\cdots+k)} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} $$

由 Laplace 定理得

$$ D = MA = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} $$

线性方程组

含有 $n$ 个未知数的 $n$ 个方程的线性方程组的形式是：

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+..+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+..+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+..+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{cases} $$

其中 $a_{ij}(i,j=1,2,\dots,n)$ 为系数，$b_{1},b_{2},\dots,b_{n}$ 为常数项
若常数项 $b_{1},b_{2},\dots,b_{n}$不全为零则称方程组为非齐次线性方程组
若常数项 $b_{1},b_{2},\dots,b_{n}$全为零则称方程组为齐次线性方程组

Cramer 法则

如果 $n$ 元线性方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+..+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+..+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+..+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{cases} \tag{1} $$

的系数行列式不等于零，即

$$ D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}\neq 0 $$

那么线性方程组(1)有唯一解:$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\dots,x_{n}=\frac{D_{n}}{D}$
其中 $D_{j}$ 是将系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用方程组右段端的常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，即

$$ \begin{array}{} D=\begin{vmatrix}a_{11} & \dots & a_{1,j} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & \dots & a_{2,j} & \dots & a_{2n} \\\vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & a_{n,j} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \\ \phantom{a_{11} \dots} \downarrow \\ D_{j}=\begin{vmatrix}a_{11} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2n} \\\vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix} \\ \end{array} $$

证明:

$$ \begin{aligned} &用D中第j列元素的代数余子式A_{1j},A_{2j},\dots,A_{nj}依次乘以方程组(1)中的n个方程得： \\ &\begin{cases} (a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+..+a_{1n}x_{n})A_{1j}=b_{1}A_{1j} \\ (a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+..+a_{2n}x_{n})A_{2j}=b_{2}A_{2j} \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ (a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+..+a_{nn}x_{n})A_{nj}=b_{n}A_{nj} \end{cases} \\ &再把上述n个方程相加，得 \\ &\left( \sum_{k=1}^n a_{k1}A_{kj} \right)x_{1}+\dots+\left( \sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj} \right)+\dots+\left( \sum_{k=1}^n a_{kn}A_{kj} \right)= \sum_{k=1}^n b_{k}A_{kj} \\ &仅\sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj}\neq 0 \\ &即有Dx_{j}=D_{j}(j=1,2,..,n) \\ &当D\neq 0时，方程组有唯一解： \\ &x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\dots,x_{n}=\frac{D_{n}}{D} \end{aligned} $$

（1）Cramer 法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形，且要求系数行列式 $D\neq 0$

（2）Cramer 法则的理论意义是：给出了解与系数的解析关系

（3）用 Crammer 法则求解线性方程组计算量大，不可取

（4）Cramer 法则的逆否命题为：如果 n 元线性方程组（1）无解或有解但不唯一，则系数行列式 $D$ 必为 $0$

齐次线性方程组的解

对于齐次线性方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+..+a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+..+a_{2n}x_{n}=0 \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+..+a_{nn}x_{n}=0 \end{cases}\tag{2} $$

显然 $x_{1}=x_{2}=\dots=x_{n}=0$ 一定是(2)的解，称之为齐次线性方程组的零解，若有一组不全为零的数是(2)的解，则称其为齐次线性方程组的非零解

Cramer 法则的结论也适用于齐次线性方程组，且由 $D_{j}=0$ 可知当 $D\neq 0$ 时，齐次线性方程组只有零解，即

1. 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 $D \neq 0$，则方程组只有零解
2. 若齐次线性方程组（2）有非零解则其系数行列式 $D=0$

齐次线性方程组（2）有非零解 $\Leftrightarrow$ 它的系数行列式 $D=0$

行列式为零的判定条件总结

设 $A$ 为 $n \times n$ 方阵

一、等价充要条件（核心）

• $A$ 不可逆（奇异矩阵）
• $\operatorname{rank}(A) < n$（不满秩）
• $A$ 的行向量组线性相关
• $A$ 的列向量组线性相关
• 齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非零解
• $0$ 是 $A$ 的一个特征值
• $A$ 的行（或列）空间维数小于 $n$

二、常见充分情形

1. 含零行或零列

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$

2. 两行（或两列）相同

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 4 \\ 5 & 6 & 6 \end{pmatrix} $$

3. 两行（或两列）成比例

$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

4. 一行（列）为其他行（列）的线性组合

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \quad (\text{第3行} = \text{第1行} + \text{第2行}) $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad (\text{第3列} = \text{第1列} + \text{第2列}) $$

5. 秩小于阶数

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \quad (\operatorname{rank} = 1 < 3) $$

6. 特征值含 $0$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad (\text{特征值 } 0, 2) $$

7. 幂零矩阵

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \left( A^2 = 0 \right) $$