向量

定义

由 $n$ 个数 $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ 组成的 $n$ 元有序数组 $\boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},\dots a_{n})$ 或 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}$ 称为 $n$ 维向量
其中 $a_{i}:\boldsymbol{\alpha}$ 的第 $i$ 个分量, $i=1,2,\dots,n$
$n:\boldsymbol{\alpha}$ 的维数

向量可写为一行 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n}\end{pmatrix}$ ,称为行向量（行矩阵）
也可写为一列 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\ \vdots\\a_{n}\end{pmatrix}$ ,称为列向量（列矩阵）

向量一般用小写黑体字母 $\boldsymbol{a,b,\alpha,\beta}$ 等表示

行向量和列向量是向量的两种不同写法，若无明确说明, 本书所提𝑛维向量均指列向量

行向量也可看作 $1 × 𝑛$ 的矩阵,列向量也可看作 $𝑛 × 1$ 的矩阵.
故 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & \dots& a_{n}\end{pmatrix}^{\boldsymbol{T}}$

特殊向量

零向量 $\boldsymbol{0(\theta)}$ :所有分量都是零的向量
实向量：所有分量都是实数的向量
复向量：分量是复数的向量
$\mathbb{R}^n$ : $n$ 维实向量的全体
$n$ 维基本(单位)向量： $\boldsymbol{\varepsilon_{1}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\\vdots \\0\end{pmatrix}},\boldsymbol{\varepsilon_{2}=\begin{pmatrix}0 \\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\dots,\boldsymbol{\varepsilon_{n}=\begin{pmatrix}0\\0 \\\vdots \\n\end{pmatrix}}$

向量的线性运算

设 $\boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})^{\boldsymbol{T}},\boldsymbol{\beta}=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})^{T},k\in \mathbb{R}$ 则

$\boldsymbol{\alpha=\beta}\Leftrightarrow a_{i}=b_{i}(i=1,2,\dots,n)$
$\boldsymbol{\alpha\pm \beta}=(a_{1}\pm b_{1},a_{2}\pm b_{2},\dots,a_{n}\pm b_{n})^{\boldsymbol{T}}$
$k\boldsymbol{\alpha}=(ka_{1},ka_{2},\dots,ka_{n})^{\boldsymbol{T}}$
$-\boldsymbol{\alpha}=(-a_{1},-a_{2},\dots,-a_{n})^{\boldsymbol{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的负向量

运算规律

交换律： $\boldsymbol{\alpha+\beta=\beta+\alpha}$
结合律： $\boldsymbol{\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma}$
加法零元：对任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，有 $\boldsymbol{\alpha+0=\alpha}$
加法负元：对任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，有 $\boldsymbol{\alpha+(-\alpha)=0}$
数乘单位元：对数1,有 $1\cdot \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$
数乘结合律： $(kl)\boldsymbol{\alpha}=k(l\boldsymbol{\alpha})$
分配律： $k(\boldsymbol{\alpha+\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}$ , $(k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}$

$\mathbb{R}^n$ 中向量的内积

定义

设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix},\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积为 $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha^T}\boldsymbol{\beta}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$

性质

设 $\boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma}\in \mathbb{R}^n,\lambda\in \mathbb{R}$ ，则有

$(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta,\alpha})$
$(\lambda\boldsymbol{\alpha,\beta})=\lambda(\boldsymbol{\alpha,\beta})$
$(\boldsymbol{\alpha+\beta,\gamma})=(\boldsymbol{\alpha,\gamma})+(\boldsymbol{\beta+\gamma})$
$(\boldsymbol{\alpha,\alpha})\geq 0$ ，且 $(\boldsymbol{\alpha,\alpha})=0\Leftrightarrow\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$

$n$ 维向量的模

定义

对于 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})^T$ ，称 $\left\|\boldsymbol{\alpha}\right\|=\sqrt[]{ (\boldsymbol{\alpha,\alpha}) }=\sqrt[]{ a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2 }$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的长度，模或范数

当 $\left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|=1$ 时，称 $\boldsymbol{\alpha}$ 为单位向量

单位向量不唯一

当 $\boldsymbol{\alpha\neq 0}$ 时，称 $\frac{\boldsymbol{\alpha}}{\left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|}$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的单位化

性质

设 $\boldsymbol{\alpha,\beta}$ 是 $n$ 维向量， $\lambda$ 维实数，则有：

正定性： $\left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|\geq 0$ ，且 $\left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|=0\Leftrightarrow\boldsymbol{\alpha=0}$
齐次性： $\left \| \lambda \boldsymbol{\alpha} \right \|=|\lambda|\cdot \left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|$
柯西-施瓦茨不等式： $|(\boldsymbol{\alpha,\beta})|\leq \left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|\cdot \left \| \boldsymbol{\beta} \right \|$ （在 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 线性相关时取等）
三角不等式： $\left \| \boldsymbol{\alpha+\beta} \right \|\leq \left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|+\left \| \boldsymbol{\beta} \right \|$

向量的夹角

定义

当 $\boldsymbol{\alpha\neq 0,\beta\neq 0}$ 时，称 $\theta=\widehat{(\boldsymbol{\alpha,\beta})}=\arccos \frac{(\boldsymbol{\alpha,\beta})}{\left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|\cdot \left \| \boldsymbol{\beta} \right \|}$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的夹角

当 $(\boldsymbol{\alpha,\beta})=0$ 时，称向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 正交（垂直），记作 $\boldsymbol{\alpha}\perp \boldsymbol{\beta}$

$\boldsymbol{0}$ 与任何向量正交
勾股定理：若 $\boldsymbol{\alpha}\perp \boldsymbol{\beta}$ 则 $\left \| \boldsymbol{\alpha +\beta} \right \|^2=\left \| \boldsymbol{\alpha} \right \|^2+\left \| \boldsymbol{\beta} \right \|^2$

向量组

定义

若干个同维的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组
向量组中向量的个数可以是有限的，也可以是无限的

矩阵与向量组

矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}$ 可以看作 $n$ 个 $m$ 维列向量：
$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1j} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2j} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mj} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}$
$\boldsymbol{\alpha_{1}}=\begin{pmatrix}a_{11} \\a_{21} \\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha_{2}}=\begin{pmatrix}a_{12} \\a_{22} \\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}\boldsymbol{\alpha_{j}}=\begin{pmatrix}a_{1j} \\a_{2j} \\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}\boldsymbol{\alpha_{n}}=\begin{pmatrix}a_{1n} \\a_{2n} \\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}:\boldsymbol{A}$ 的列向量组
行向量组同理

同时，含有限个（同维数的）向量的向量组可以构成一个矩阵

向量组的线性组合与线性表示

定义

对给定的向量组 $(\boldsymbol{A}):\boldsymbol{\alpha_{1},\boldsymbol{\alpha_{2},\dots,\boldsymbol{\alpha_{s}}}}$ 和任意一组实数 $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{s}$ 称 $\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\dots+\lambda_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为向量组 $(\boldsymbol{A})$ 的一个线性组合， $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{s}$ 称为该线性组合的系数

设 $\boldsymbol{\alpha_{1},\boldsymbol{\alpha_{2},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}}}$ 为一组向量，若存在一组实数 $k_{1},k_{2},\dots,k_{n}$ ，使得 $\boldsymbol{\alpha}=k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\dots+k_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 的线性组合，也称 $\boldsymbol{\alpha}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ **线性表示

定理

$\begin{aligned} &向量\boldsymbol{\beta} 能由向量组 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n} 线性表示． \\&\Leftrightarrow 存在一组常数 c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} 使得关系式 c_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+c_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{\beta} \text { 成立 } \\ &\Leftrightarrow 线性方程组 x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{\beta} 有解． \\ &\Leftrightarrow 线性方程组 \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta} 有解．\\&这里 \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right) \end{aligned}$

向量组间的线性表示与等价

定义

设有两个向量组 $(A):\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}},(B):\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{t}}$ 若(B)组中的每一个向量都能由向量组 $(A)$ 线性表示, 则称向量组 $(B)$ 能由向量组 $(A)$ 线性表示,若向量组 $(A)$ 与 $(B)$ 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价

性质

自反性：任意向量组与其自身等价
对称性：若向量组 $(A)$ 与向量组 $(B)$ 等价，则向量组 $(B)$ 与 $(A)$ 等价
传递性：若向量组 $(A)$ 与向量组 $(B)$ 等价,且向量组 $(B)$ 与 $(C)$ 等价,则向量组 $(A)$ 与 $(C)$ 等价

向量组间的线性表示的等价描述

$\begin{aligned} &向量组（B）： \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t} 能由向量组（A）： \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} 线性表示 \\ &\Leftrightarrow 对每个 \boldsymbol{\beta}_{j}(j=1,2, \cdots, t) ，存在数 k_{1 j}, k_{2 j}, \cdots, k_{s j} ，使得\boldsymbol{\beta}_{\boldsymbol{j}}=k_{1 j} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2 j} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s j} \boldsymbol{\alpha}_{s} \\ &\Leftrightarrow \left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right)\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1 t} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2 t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k_{\mathrm{s} 1} & k_{\mathrm{s} 2} & \cdots & k_{s t} \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \text { 有解. 这里 } \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t}\right) \end{aligned}$

向量组的线性相关性

定义

设有向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ ，若存在一组不全为零的数 $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{m}$ 使得 $\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\dots+\lambda_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}=\boldsymbol{0}$ 则称向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1},\boldsymbol{\alpha_{2},\dots,\boldsymbol{\alpha_{m}}}}$ 是线性相关的，否则称向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1},\boldsymbol{\alpha_{2},\dots,\boldsymbol{\alpha_{m}}}}$ 是线性无关的

若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\boldsymbol{\alpha_{2},\dots,\boldsymbol{\alpha_{m}}}}$ 线性无关，则 $\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\dots+\lambda_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow\lambda_{1}=\lambda_{2}=\dots=\lambda_{m}=0$

任一向量组，不是线性相关就是线性无关

向量组的线性相关性与向量组中向量的次序无关

向量组线性相关性的等价描述

$\begin{aligned} &已知向量组\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}},记\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}),\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^{\boldsymbol{T}} \\ &若\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}线性相关 \\ &\Leftrightarrow x_{1}\boldsymbol{\alpha_{1}}+x_{2}\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,x_{n}\boldsymbol{\alpha_{n}}=\boldsymbol{0}有非零解 \\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{Ax=0}有非零解 \\ &若\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}线性无关 \\ &\Leftrightarrow x_{1}\boldsymbol{\alpha_{1}}+x_{2}\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,x_{n}\boldsymbol{\alpha_{n}}=\boldsymbol{0}仅有零解 \\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{Ax=0}仅有零解 \end{aligned}$

向量组线性相关的判别方法

$n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}$ 线性相关 $\Leftrightarrow \begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}\end{vmatrix}=0$ ，
线性无关 $\Leftrightarrow \begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}\end{vmatrix}\neq 0$
当 $m>n$ 时， $m$ 个 $n$ 维向量一定线性相关
向量的个数 $\leftrightarrow$ 未知数的个数;向量的维数 $\leftrightarrow$ 方程的个数
设有两个向量组 $\alpha_{i}=(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir})^{\boldsymbol{T}}$ $α_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i r})^{T}$ , $\beta_{i}=(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir},a_{i(r+1)})^{\boldsymbol{T}}$ $β_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i r}, a_{i (r + 1)})^{T}$
1. 若 $r$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}$ 线性无关，则 $r+1$ 维向量组 $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{m}}$ 也线性无关
2. 若 $r+1$ 维向量组 $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{m}}$ 线性相关，则 $r$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}$ 也线性相关
  即：短的无关⟹长的无关,长的相关⟹短的相关

向量组线性相关性的结论

向量组中仅单个向量的情况
1. 若向量 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ ，则线性相关；
2. 若向量 $\boldsymbol{\alpha} \ne \boldsymbol{0}$ ，则线性无关。
向量组中仅两个向量的情况
$\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \text{ 线性相关}\iff\boldsymbol{\beta} = k \boldsymbol{\alpha}\iff \text{对应分量成比例。}$
两个向量线性相关的几何意义 $\iff$ 两个向量共线
三个向量的几何意义
$\text{三个向量线性相关} \iff \text{三个向量共面。}$
包含零向量的情况
任何包含 $\boldsymbol{0}$ 的向量组都是线性相关的。
部分与整体的关系
1. 若部分向量组线性相关，则整体向量组也线性相关。
  （部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关）
2. 若整体向量组线性无关，则任意部分向量组也线性无关。
  （整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关）

向量组线性相关性的几何含义

若向量组线性相关，表示其中某些向量可以由其他向量线性表示。
换句话说，它们之间没有提供新的方向
几何上，这意味着这些向量共线、共面或共属于某个低维子空间。
若线性无关，则向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
不同维度下的直观理解：
二维空间（2D）：
若 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 线性相关，则存在常数 $k$ 使 $\mathbf{b} = k\mathbf{a},$ 即两向量共线。
三维空间（3D）：
若 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 线性相关，则存在常数 $\alpha, \beta$ 使 $\mathbf{c} = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b}$ 即三向量共面。
n维空间（nD）：
若一组向量线性相关，则其中某些向量落在其他向量张成的低维子空间中。
总结：
$\text{线性相关} \iff \text{向量组没有张出新的维度。}$
$\text{线性无关} \iff \text{每个向量都提供一个新的方向。}$

正交向量组

定义

已知 $m$ 个非零向量 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ 若 $(\boldsymbol{\alpha_{i},\alpha_{j}})=0(i,j=1,2,\dots,m,i\neq j)$ 则称 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ 为正交向量组

若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ 为正交向量组，且 $\left \| \boldsymbol{\alpha_{i}} \right \|=1(i=1,2,\dots,m)$ 则称 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ 为标准（规范、单位）正交向量组

性质

若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ 为正交向量组，则 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}$ 线性无关

极（最）大线性无关组

定义

在向量组 $(A):\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ 中, 若存在它的一个部分组 $(A_{0}):\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\dots,\alpha_{i_{r}}$ , 满足：

向量组 $(A_{0}):\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\dots,\alpha_{i_{r}}$ 线性无关;
$(A)$ 中任一向量都可以由向量组 $A_{0}$ 线性表示;
则称 $(A_{0})$ 为 $(A)$ 的一个极（最）大线性无关组，简称极（最）大无关组

向量组的极大无关组(一般)不唯一,但其中向量的个数唯一

只含零向量的向量组没有极大无关组

向量组的极大无关组具有：无关性, 极大性，极小性

若向量组 $(A_{0})$ 是 $(A)$ 的极大无关组, 则 $(A_{0})$ 是 $(A)$ 的全权代表, 是生成 $L(A)$ 的必须元, 且 $(A_{0})$ 中向量的个数不会超过 $(A)$ 中向量的个数.

结论

任一向量组线性无关⟺其极大无关组是它本身.
设 $\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\dots,\alpha_{i_{r}}$ 是向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 的一个极大无关组,则 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 中的任一向量均可由 $\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\dots,\alpha_{i_{r}}$ 线性表示, 且表示方法唯一
设 $\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\dots,\alpha_{i_{r}}$ 是向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 的一个线性无关组,则它成为极大无关组 $\Leftrightarrow$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 中的任一向量都可由 $\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\dots,\alpha_{i_{r}}$ 线性表示.
向量组与其任一极大无关组等价.
向量组的任意两个极大无关组等价,从而所含向量个数也相等

向量组的秩

定义

向量组 $(A):\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ 的极大无关组所含向量的个数𝑟称为该向量组的秩，记为 $r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})=r$

规定：仅含零向量的向量组的秩为零

结论

仅含零向量的向量组的秩为0
设 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ 为非零向量组, 则 $0<r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})<s$
$\because n$ 维基本单位向量组 $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}$ 线性无关, 且任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量线性相关
$\therefore \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个极大无关组，且 $r(\mathbb{R}^n)=n$
向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})<s$

向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ 线性无关 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})=s$

性质

若向量组 $A$ $A$ 可由向量组 $B$ $B$ 线性表示, 则 $r(A)\leq r(B)$ $r (A) \leq r (B)$
1. 等价向量组具有相等的秩
若向量组 $(A):\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ 可由向量组 $(B):\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{t}$ 线性表示, 且 $r(A)=r(B)$ ，则向量组 $A$ 与 $B$ 等价

$n$ 维向量空间

定义

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的所有 $n$ 维向量构成的集合，且对于向量的线性运算封闭的，即： $\forall \boldsymbol{\alpha,\beta}\in V,k\in \mathbb{F}$ ,有 $\boldsymbol{\alpha+\beta}\in V,k\cdot \boldsymbol{\alpha}\in V$ 则称 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维向量空间，记为 $\mathbb{F}^n$

$\mathbb{F}$ 可以是 $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}$ ，相应地称 $V$ 为数域 $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}$ 上的 $n$ 维向量空间，若无特别说明 $\mathbb{F}$ 是指 $\mathbb{R}$ ,此时称 $V$ 为数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 实向量空间,记为 $\mathbb{R}^n$

线性运算满足8条运算规律 $\Leftrightarrow$ 对线性运算封闭

空间=集合+结构

向量空间也称为线性空间

1维向量空间 $\mathbb{R}\rightarrow$ 数轴

2维向量空间 $\mathbb{R}^2\rightarrow$ 平面

3维向量空间 $\mathbb{R}^3\rightarrow$ 三维几何空间

基和维数

定义

设 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间, 若 $V$ 中的 $r$ 个向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 满足：

$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 线性无关;
$V$ 中任一向量可由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 线性表示,
则称 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一组基, $r$ 称为向量空间 $V$ 的维数,
记作 $\dim V=r$ .

把 $V$ 看作一向量组, 则 $V$ 的基就是该向量组的极大无关组, $V$ 的维数就是该向量组的秩.

只含 $\boldsymbol{0}$ 的向量空间没有基, 维数等于 $0$

若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 是向量空间𝑉的一组基,则 $𝑉 = {k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + ⋯ + k_{r}\alpha_{r}: 𝑘_{i} \in \mathbb{F}}$
即:向量空间 $V=$ 由 $V$ 的基所生成的向量空间.

举例

向量组 $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基, $\mathbb{R}^2$ 是2维向量空间.
向量组 $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ 也是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基.
$n$ 维基本向量组 $\varepsilon_{1}=(1,0,\dots,0)^T,\varepsilon_{2}=(0,1,\dots,0)^\mathbf{T},\dots,\varepsilon_{n}=(0,0,\dots,1)^T$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基, $\mathbb{R}^n$ 是 $n$ 维向量空间.向量空间的一组基向量空间的坐标系

子空间

定义

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维向量构成的非空集合，即： $\forall \boldsymbol{\alpha,\beta}\in V,k\in \mathbb{F}$ ,有 $\boldsymbol{\alpha+\beta}\in V,k\cdot \boldsymbol{\alpha}\in V$ 则称 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维向量空间，称 $V$ 为 $\mathbb{F}^n$ 的子空间

设 $V_{1},V_{2}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间，且 $V_{1}\subset V_{2}$ ,则 $V_{1}$ 为 $V_{2}$ 的子空间

子空间举例

$\quad V_1 = \{ \mathbf{0} \}, \quad V_2 = \mathbb{F}^n \text{ 是 } \mathbb{F}^n \text{ 的两个子空间，称为 } \mathbb{F}^n$ 的平凡子空间
$\quad V = \{ \mathbf{x} : \mathbf{x} = (0, y, z),\; y, z \in \mathbb{R} \} \text{ 是 } \mathbb{R}^3$ 的子空间
$\quad V = \{ \mathbf{x} : \mathbf{x} = (1, y, z),\; y, z \in \mathbb{R} \}$ 不是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间。一般地，设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间， $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s \subset V$ 则 $L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)= \{ \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_s \alpha_s \mid \lambda_i \in \mathbb{F} \}$ 构成 $V$ 的一个线性子空间，称 $L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$ 为由 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 生成的线性子空间，称 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 为生成元
设 $n$ 元线性方程组 $A_{m\times n}x = 0$ 的全体解向量构成的集合为 $S$ ,即 $S = \{\, x \mid A_{m\times n}x = 0,\ x \in \mathbb{R}^n \,\}\forall \alpha, \beta \in S,\, k \in \mathbb{R},\quad A(\alpha + \beta) = A\alpha + A\beta = 0; \quad$ 故 $\alpha + \beta \in S; \quad k\alpha \in S$ 即 $A\alpha = 0,\ A\beta = 0,\quad A(k\alpha) = kA\alpha = k0 = 0.$ 因此 $S$ 为一向量空间, 称之为 $A_{m\times n}x = 0$ 的解空间，又 $S \subset \mathbb{R}^n$ ，故 $S$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间
$W = \{\, x \mid A_{m\times n}x = b \ne 0 \,\}$ 不是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，显然当 $x \in W \text{ 时，} 2x \notin W.$

向量在给定基下的坐标

定义

设有序向量组 $(A):\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 是向量空间 $V$ 中给定的一组基, $\forall \alpha\in V$ 可由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 线性表示, 即 $\boldsymbol{\alpha}=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\dots+k_{r}\alpha_{r}=\begin{pmatrix}\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots\\\alpha_{r}\end{pmatrix}$
称有序数组 $(k_{1},k_{2},\dots,k_{r})^T$ 是向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $(A)$ 下的坐标.

$\uparrow$ 因为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 线性无关, $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ , $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关, 所以 $\boldsymbol{\alpha}$ 由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 唯一线性表示, 即 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}$ 下的坐标唯一

$V$ 的基就是 $V$ 的一个极大无关组, 基不是唯一的.

基是有序的向量组.例如 ${𝒊, 𝒋, 𝒌}$ 和 ${𝒊, 𝒌, 𝒋}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的两个不同的基.

向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在给定基下的坐标是唯一确定的.以下用 $A:(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 的一组基, 也表示矩阵.要求向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基下 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$ 的坐标,就是求解方程组 $\boldsymbol{Ax=\alpha}$ .此方程组一定是有唯一解 $\boldsymbol{x=A^{-1}\alpha}$ .

由 $\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 个单位向量 $\boldsymbol{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}}$ 构成的基称为自然基.一般地， $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})^T$ 在自然基 $\boldsymbol{A=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n})}$ 下的坐标向量就是 $\boldsymbol{\alpha}$ 本身

约定基中的向量及向量在基下的坐标都是列向量

基与坐标的关系

矩阵的可逆性与向量组的线性无关性

设 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基， $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组向量若 $\begin{cases}\boldsymbol{\beta_{1}=k_{11}\alpha_{1}+k_{21}\alpha_{2}+\cdots+k_{n1}\alpha_{n}} \\ \boldsymbol{\beta_{2}=k_{12}\alpha_{1}+k_{22}\alpha_{2}+\cdots+k_{n2}\alpha_{n}}\\ \quad\quad\quad\quad\dots\dots\dots\dots\dots \\ \boldsymbol{\beta_{n}=k_{1n}\alpha_{1}+k_{2n}\alpha_{2}+\cdots+k_{nn}\alpha_{n}}\end{cases}$

即 $(\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}})=(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}})\begin{pmatrix}k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1n} \\k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{n1} & k_{n2} & \dots & k_{nn}\end{pmatrix}$

则 $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的基 $\Leftrightarrow\det \boldsymbol{K}=\begin{vmatrix}k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1n} \\k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{n1} & k_{n2} & \dots & k_{nn}\end{vmatrix}\neq 0$

向量组线性无关 $\Leftrightarrow$ 该向量组被某组基表示的系数矩阵可逆

过渡矩阵

设 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}和\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的两组基，且 $(\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}})=(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}})\begin{pmatrix}k_{11} & k_{12} & \dots & k_{1n} \\k_{21} & k_{22} & \dots & k_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{n1} & k_{n2} & \dots & k_{nn}\end{pmatrix}$
，则称矩阵 $\boldsymbol{K}=(k_{ij})_{n\times n}$ 为由基 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}$ 变为基 $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}}$ 的过渡矩阵（变换矩阵）

过渡矩阵 $\boldsymbol{K}$ 的第 $j$ 列是 $\beta_{j}$ 在基 $\{\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}\}$ 下的坐标
过渡矩阵可逆
$\boldsymbol{B=AK}$ ：基变换公式（新基矩阵=旧基矩阵 $\times$ 过渡矩阵）

坐标变换公式

设向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}}和基\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}}$ 下坐标分别是 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ ，且从基 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 到基 $\boldsymbol{\beta_{1}},\boldsymbol{\beta_{2}},\dots,\boldsymbol{\beta_{n}}$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{K}$ 则 $\boldsymbol{x=Ky}$ （旧坐标=过渡矩阵 $\times$ 新坐标）

标准正交基

定义

设 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 是向量空间 $V(\subseteq \mathbb{R}^{n})$ 的一组基，若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 是正交向量组，且都是单位向量，则称 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 为 $V$ 的一组标准（规范）正交基

若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 是 $V$ 的一组标准正交基，则 $(\boldsymbol{\alpha_{i},\alpha_{j}})=\delta_{ij}=\begin{cases}1,i=j\\0,i\neq j\end{cases}$
在向量空间里，基 $\leftrightarrow$ 坐标系；标准正交基 $\leftrightarrow$ 直角坐标系

性质

设 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 是 $V$ $V$ 的一组标准正交基， $\boldsymbol{\beta}\in V$ $β \in V$ ，且 $\boldsymbol{\beta}$ $β$ 在标准正交基 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 下的坐标为 $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{r})^T$ $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r})^{T}$ ，则 $x_{i}=(\boldsymbol{\beta,\alpha_{i}}),i=1,2,\dots,r$ $x_{i} = (β, α_{i}), i = 1, 2, \dots, r$
- 向量在标准正交基中的坐标易求，因此常取向量空间的标准正交基
- 若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 是 $V$ 的正交基， $\boldsymbol{\beta}$ 在该基下的坐标为 $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{r})^T$ ，则 $x_{i}=\frac{(\boldsymbol{\beta,\alpha_{i}})}{(\boldsymbol{\alpha_{i},\alpha_{i}})}$
施密特正交化方法：
- 理论基础：在 $\mathbb{R}^n$ 中，若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}}(m\geq 2)$ 线性无关，则存在某个正交向量组 $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{m}}$ ，对任意 $1\leq t\leq m$ 有 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{t}}$ 与 $\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{t}}$ 等价（即 $\boldsymbol{\beta_{t}}$ 表示的是由 $\boldsymbol{\alpha_{t}}$ 所引入的、前 $t-1$ 个向量张成的子空间之外新增的一维正交方向）。
- 具体方法：取 $\boldsymbol{\beta_{1}=\alpha_{1}}$ ，则有 $\boldsymbol{\beta_{r}}=\boldsymbol{\alpha_{r}}-\frac{(\boldsymbol{\alpha_{r},\beta_{1}})}{(\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{1}})}\boldsymbol{\beta_{1}}-\frac{(\boldsymbol{\alpha_{r},\beta_{2}})}{(\boldsymbol{\beta_{2},\beta_{2}})}\boldsymbol{\beta_{2}}-\cdots-\frac{(\boldsymbol{\alpha_{r},\beta_{r-1}})}{(\boldsymbol{\beta_{r-1},\beta_{r-1}})}\boldsymbol{\beta_{r-1}}(r=2,3,\dots,m)$
- 证明：

$\begin{aligned} &取 \boldsymbol{\beta_1 = \alpha_1}，再令 0 \neq \beta_2 = \alpha_2 + k_{12}\beta_1，\\ &由 0 = (\beta_2, \beta_1) = (\alpha_2 + k_{12}\beta_1, \beta_1) = (\alpha_2, \beta_1) + k_{12}(\beta_1, \beta_1) \\ &\Rightarrow k_{12} = -\frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}, \text{ 且 } \alpha_1, \alpha_2 \text{ 与 } \beta_1, \beta_2 \text{ 等价}. \\ &再令 0 \neq \beta_3 = \alpha_3 + k_{13}\beta_1 + k_{23}\beta_2，且 (\beta_3, \beta_1) = (\beta_3, \beta_2) = 0，\\ &由 0 = (\beta_3, \beta_1) = (\alpha_3 + k_{13}\beta_1 + k_{23}\beta_2, \beta_1)\\ &= (\alpha_3, \beta_1) + k_{13}(\beta_1, \beta_1) + k_{23}(\beta_2, \beta_1)\\ &\Rightarrow k_{13} = -\frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}. \\ &\text{ 类似地由 } (\beta_3, \beta_2) = 0 \Rightarrow k_{23} = -\frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}. \\ & \text{剩下的同理} \end{aligned}$

几何解释：施密特正交化就是不断求投影向量再做差的过程，例如求 $\boldsymbol{\beta_{2}}$ 时，有 $\boldsymbol{\beta_{2}}=\boldsymbol{\alpha_{2}}-\frac{(\boldsymbol{\alpha_2, \beta_1})}{(\boldsymbol{\beta_1, \beta_1})}\boldsymbol{\beta_{1}}$ ，其中由于 $\boldsymbol{\beta_1 = \alpha_1}$ 因此 $\frac{(\boldsymbol{\alpha_2, \beta_1})}{(\boldsymbol{\beta_1, \beta_1})}\boldsymbol{\beta_{1}}$ 就是 $\boldsymbol{\alpha_{2}}$ 在 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$ 上的投影向量，而两者之差就是正交于 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$ 的向量，即剔除了 $\boldsymbol{\alpha_{2}}$ 中 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$ 的方向上的分量，后续就是在重复这个过程，不断剔除新加入的向量中已有的方向上的分量。

内积空间

定义

设 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间， $\forall \boldsymbol{\alpha,\beta}\in V$ ，若能给定某种规则使得 $\boldsymbol{\alpha,\beta}$ 对应一个实数 $(\boldsymbol{\alpha,\beta})$ ，且满足下列条件（其中 $\boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma}\in V,\lambda \in \mathbb{R}$

$(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta,\alpha})$
$(\lambda\boldsymbol{\alpha,\beta})=\lambda(\boldsymbol{\alpha,\beta})$
$(\boldsymbol{\alpha+\beta,\gamma})=(\boldsymbol{\alpha,\gamma})+(\boldsymbol{\beta+\gamma})$
$(\boldsymbol{\alpha,\alpha})\geq 0$ ，且 $(\boldsymbol{\alpha,\alpha})=0\Leftrightarrow\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$
则称 $(\boldsymbol{\alpha,\beta})$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积

定义了内积的线性空间称为内积空间，或者欧式空间

内积空间与线性空间的差别在与它多了内积这一结构，所以内积空间是线性空间的特例

eg:

在 $\mathbb{R}^n$ 中，定义 $(\boldsymbol{\alpha, \beta}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ （标准内积），其中 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$ , $\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^T$ ，则 $\mathbb{R}^n$ 为内积空间。
在 $\mathbb{R}^n$ 中，定义 $(\boldsymbol{\alpha, \beta}) = a_1b_1 + 2a_2b_2 + \cdots + na_nb_n$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha, \beta}$ 同上，可以验证 $\mathbb{R}^n$ 关于此内积也构成内积空间。
在 $\mathbb{R}^2$ 中，定义 $(\boldsymbol{\alpha, \beta}) = a_1b_1 - a_2b_1 - a_1b_2 + 4a_2b_2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}= (a_1, a_2)^T$ , $\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2)^T$ ，则 $\mathbb{R}^2$ 关于此内积也构成内积空间。
在 $\mathbb{R}^2$ 中，若定义 $(\boldsymbol{\alpha, \beta}) = a_1 + a_2 + b_1 + b_2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha, \beta}$ 同上，则 $\mathbb{R}^2$ 不构成内积空间。
在线性空间 $C[a,b]$ 中，若定义 $(f(x), g(x)) = \int_a^b f(x)g(x)\,dx$ （标准内积），则 $C[a,b]$ 构成内积空间。

性质

设 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间， $\boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma,\alpha_{i},\beta_{j}}\in V,k,x_{i},y_{j}\in \mathbb{F}$

$(\boldsymbol{O,\alpha})=0$
$k(\boldsymbol{\alpha,\beta})=(\boldsymbol{\alpha},k\boldsymbol{\beta})$
$(\boldsymbol{\alpha+\beta,\gamma})=(\boldsymbol{\alpha,\gamma})+(\boldsymbol{\beta+\gamma})$
$\left( \sum^s_{i=1}x_{i}\boldsymbol{\alpha_{i}},\sum^t_{j=1}y_{j}\boldsymbol{\beta_{j}} \right)=\sum^s_{i=1}\sum^t_{j=1}x_{i}y_{j}\boldsymbol{\alpha_{i}\beta_{j}}$

与内积空间 $\mathbb{R}^n$ 类似，在一般的内积空间中利用内积可以定义向量的长度，夹角，也满足柯西-施瓦茨不等式，三角不等式，勾股定理及其推广等

如内积空间 $C[-1,1]$ 中，定义标准内积，对 $P_{1}(x)=x,P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)$ 则有：

$\begin{aligned} &\because \int ^1_{-1}P_{1}(x)P_{2}(x) \, dx =\int ^1_{-1} \frac{1}{2}x(3x^{2}-1) \, dx = 0 \\ &\therefore P_{1}(x)\perp P_{2}(x) \\ &\left \| P_{1}(x) \right \| =\sqrt[]{ \int ^1_{-1}x^{2} \, dx }=\frac{\sqrt[]{ 6 }}{3} \\ &\left \| P_{2}(x) \right \| =\sqrt[]{ \int ^1_{-1}\frac{1}{2}(3x^{2}-1) \, dx } = \frac{\sqrt[]{ 10 }}{5} \end{aligned}$

度量矩阵

设 $V$ 是 $n$ 维内积空间， $\boldsymbol{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}}$ 是 $V$ 的一组基，记 $a_{ij}=(\boldsymbol{\varepsilon_{i},\varepsilon_{j}})(i,j=1,2,\dots,n)$ 称 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$ 为基 $\boldsymbol{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}}$ 的度量矩阵

设 $\boldsymbol{\alpha,\beta}\in V$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}}$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^T$ 和 $\boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})^T$ ，于是

$(\boldsymbol{\alpha,\beta})=\left( \sum^n_{i=1}x_{i}\boldsymbol{\varepsilon_{i}},\sum^n_{j=1}y_{j}\boldsymbol{\varepsilon_{j}} \right)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}x_{i}y_{j}a_{ij}=\boldsymbol{x^TAy}$

[! tip]
若 $V=\mathbb{R}^n，\boldsymbol{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots,\varepsilon_{n}}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的自然基，则 $\boldsymbol{A=E}$ ，从而 $(\boldsymbol{a,b})=\boldsymbol{a^TEb}=\boldsymbol{a^Tb}$

正交矩阵

定义

若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A^TA=E}$ (即 $\boldsymbol{A^{-1}=A^T}$ )，则称 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵（列或行向量组为一组标准正交基）

性质

$\boldsymbol{A^TA=E}\Leftrightarrow\boldsymbol{AA^T=E}$
$\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow$ 方阵 $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组是标准正交向量组
若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $\boldsymbol{A^{-1}，A^T，A^*}$ 也是正交矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=\pm 1$
若 $\boldsymbol{A,B}$ 均为 $n$ 阶为正交矩阵，则 $\boldsymbol{AB}$ 也是正交矩阵

正交变换

设 $\boldsymbol{P}$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则线性变换 $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n,\boldsymbol{x\mapsto Px}$ 为正交变换

正交矩阵对应的线性变换为正交变换，正交变换在标准正交基下的表示矩阵为正交矩阵
从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵
若向量 $\boldsymbol{x,y}\in \mathbb{R}^n$ 在 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的作用下变换为 $\boldsymbol{Px,Py}\in \mathbb{R}^n$ ，则向量的内积、长度及向量之间的夹角保持不变

判定

设 $T$ 是 $n$ 维内积空间 $V$ 上的线性变换，若 $(T\boldsymbol{\alpha},T\boldsymbol{\alpha})=(\boldsymbol{\alpha,\alpha})$ ，则 $T$ 为正交变换（ $T$ 保持向量长度）
内积空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 是正交变换 $\Leftrightarrow(T\boldsymbol{\alpha},T\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha,\beta})(\forall \boldsymbol{\alpha,\beta}\in V)$ （ $T$ 保持向量内积）
内积空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 是正交变换 $\Leftrightarrow T$ 把标准正交基变为标准正交基
内积空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 是正交变换 $\Leftrightarrow T$ 在标准正交基下的表示矩阵是正交矩阵

线性空间

这里主要是对上文向量空间的概念进行拓展，线性空间和向量空间就是同一个东西

定义

设 $V\neq \emptyset$ ， $\mathbb{F}$ ：数域，在 $V$ 中定义有加法" $+$ “和数乘” $\cdot$ "两种运算，使得： $\forall \boldsymbol{\alpha,\beta}\in V,k\in \mathbb{F}$ 有 $\boldsymbol{\alpha+\beta}\in V,k\cdot \boldsymbol{\alpha}\in V$ ，并且这两种运算满足以下运算规律：

加法交换律： $\boldsymbol{\alpha+\beta=\beta+\alpha}$
加法结合律： $(\boldsymbol{\alpha+\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta+\gamma})$
零元： $\exists \boldsymbol{\theta}\in V$ ，使得 $\forall \boldsymbol{\alpha}\in V$ 有 $\boldsymbol{\alpha+\theta=\alpha}$
负元： $\forall \boldsymbol{\alpha}\in V,\exists \boldsymbol{\beta}\in V$ ，使得 $\boldsymbol{\alpha+\beta=\theta}$ ，记 $\boldsymbol{\beta=-\alpha}$
单位元：对数 $1$ ,有 $1\cdot \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$
数乘结合律： $(kl)\boldsymbol{\alpha}=k(l\boldsymbol{\alpha})=l(k\boldsymbol{\alpha})$
分配律： $(k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}$
分配律： $k(\boldsymbol{\alpha+\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}$
则称 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间（向量空间）
$V$ 中元素称为向量，加法和数乘两种运算称为线性运算

eg:

$V$ $V$ ：全体 $n$ $n$ 维实向量， $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ $F = R$ ，按通常向量的加法和数乘，构成 $\mathbb{R}$ $R$ 上的线性空间，记为 $\mathbb{R}^n$ $R^{n}$ 。
- 若 $V = \mathbb{R}^n , \mathbb{F} = \mathbb{C}$ ，则 $V$ 不是线性空间。
- 若 $V = \mathbb{C}^n , \mathbb{F} = \mathbb{R}$ ，则 $V$ 是线性空间，记作 $\mathbb{C}_{\mathbb{R}}^n$ 。
$V : m \times n$ 实矩阵全体， $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ ，按通常矩阵的加法和数乘，构成 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，记为 $\mathbb{R}^{m \times n}$ 。
数域 $\mathbb{F}$ $F$ 上的线性空间 $\mathbb{F}[x]$ $F [x]$ ： $V : \mathbb{F}$ $V : F$ 上的一元多项式全体（包括零多项式），按通常多项式的加法和数与多项式的乘法。
- $\mathbb{R}[x]_{n+1}$ ：实数域 $\mathbb{R}$ 上的次数不超过 $n$ 的多项式全体。
$V$ ：区间 $[a, b]$ 上的全体连续函数，按通常函数的加法和数乘，构成线性空间。
$V: \boldsymbol{Ax=0}$ 的全体解（向量），按通常向量的加法和数乘，构成线性空间，称为 $\boldsymbol{Ax=0}$ 的解空间。
$V: \boldsymbol{Ax=b\neq 0}$ 的全体解（向量），按通常向量的加法和数乘，不构成线性空间（因为不含零向量，且对加法不封闭）

线性空间不仅与集合 $V$ 中的元素有关，也与 $V$ 上定义的线性运算（加法、数乘）有关，因此，线性空间常记作 $(V, +, \cdot)$ 。

线性空间 $V$ 是向量空间的推广，也可以称为向量空间，其中的元素可能是矩阵，也可能是函数，这些元素也可称为“向量”

线性空间 $V$ 的两种线性运算称为“加法”和“数乘”，但是它们可能不是通常的加法和数乘运算

线性空间的两种线性运算必须满足线性运算的 $8$ 条运算规律

性质

在线性空间 $V$ 中

零元 $\boldsymbol{\theta}$ 是唯一的
任一元素的负元是唯一的
$k(\boldsymbol{\alpha-\beta})=k\boldsymbol{\alpha}-k\boldsymbol{\beta}；(k-l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}-l\boldsymbol{\alpha}$
若 $k\boldsymbol{\alpha =\theta}$ 则 $k=0$ 或者 $\boldsymbol{\alpha=\theta}$

线性子空间

定义

设 $V=(V,+,\cdot)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间， $\emptyset\neq S\subseteq V$ ，若 $S$ 对 $V$ 中定义的加法和数乘也构成数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，则称 $S$ 为 $V$ 的线性子空间，简称子空间

eg:

设 $V$ 是任一线性空间， $\{\boldsymbol{\theta}\}$ 和 $V$ 本身都是 $V$ 的子空间（平凡子空间），其中 $\{\boldsymbol{\theta}\}$ 称为 零子空间。
设 $V$ 是全体实函数构成的线性空间，则 $\mathbb{R}[x]_n$ （次数不超过 $n$ 的实系数多项式全体）是 $V$ 的线性子空间
$W = \{ \boldsymbol{x} : \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\theta} \}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，称为 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\theta}$ 的解空间，也称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的零空间 $N(\boldsymbol{A})$ 或核空间 $\ker(\boldsymbol{A})$ 。
而 $\widetilde{W} = \{ \boldsymbol{x} : \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{\theta} \}$ 不是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间
在向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中，过原点的平面 $\pi$ 上的所有向量构成 $\mathbb{R}^3$ 的一个线性子空间

判定

线性空间 $V$ 的非空子集 $S$ 构成 $V$ 的线性子空间 $\Leftrightarrow S$ 对 $V$ 中的线性运算封闭，即 $\forall \boldsymbol{\alpha,\beta}\in S,\lambda,\mu \in \mathbb{F}$ ，有 $\lambda \boldsymbol{\alpha}+\mu \boldsymbol{\beta}\in S$

线性变换

定义

设 $X,Y$ 都是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，映射 $T:X \to Y$ 满足： $\forall \boldsymbol{x_{1},x_{2}}\in X,\forall\lambda \in \mathbb{F}$ 都有 $T(x_{1}+x_{2})=T(x_{1})+T(x_{2});T(\lambda x_{1})=\lambda T(x_{1})$

则称 $T$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的线性映射（变换，算子）

eg:

恒等变换（单位变换：

$E(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{\alpha},\quad \forall \boldsymbol{\alpha} \in X$

零变换 $0^*$ ：

$0^*(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0},\quad \forall \boldsymbol{\alpha}\in X$

数乘变换：

$T(\boldsymbol{\alpha}) = k\boldsymbol{\alpha},\quad \forall \boldsymbol{\alpha} \in X;\ k \in \mathbb{F} \text{ 为常数}$

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ，定义为：

$T(\boldsymbol{\alpha}) = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha},\quad \forall \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^2$

令 $\alpha = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \end{pmatrix}$ ，则

$T(\boldsymbol{\alpha}) = \begin{pmatrix} r\cos(\theta + \varphi) \\ r\sin(\theta + \varphi) \end{pmatrix}$

$\to$ 旋转变换：将向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 按逆时针方向旋转 $\varphi$ 角。

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ：

$T(x, y) = (kx, y),\quad \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2;\ k \text{ 为常数}$

在线性空间 $\mathbb{R}[x]_n$ 中，定义变换 $A, B, C$ 如下：
对任意 $f(x) \in \mathbb{R}[x]_n$ ，

$A(f(x)) = f'(x)\to$ 求导变换
$B(f(x)) = f(0)\to$ 赋值变换
$C(f(x)) = 1\to$ 常值变换
则： $A, B$ 为线性变换， $C$ 不是线性变换。

性质

设 $T$ 是线性空间 $X$ 到 $Y$ 的线性变换，则

$T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$
$T\left( \sum^m_{k=1}l_{k}\boldsymbol{\alpha}_{k} \right)=\sum^m_{k=1}l_{k}T(\boldsymbol{\alpha}_{k})$
若 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 线性相关，则 $T(\boldsymbol{\alpha_{1}}),T(\boldsymbol{\alpha_{2}}),\dots,T(\boldsymbol{\alpha_{r}})$ 也线性相关
若 $T(\boldsymbol{\alpha_{1}}),T(\boldsymbol{\alpha_{2}}),\dots,T(\boldsymbol{\alpha_{r}})$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 也线性无关

运算

设 $X,Y$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间， $T_{1},T_{2}$ 都是从 $X$ 到 $Y$ 的线性变换， $\lambda \in \mathbb{F}$

$T_{1}=T_{2}$ ： $\forall \boldsymbol{x}\in X$ ，都有 $T_{1}(\boldsymbol{x})=T_{2}(\boldsymbol{x})$
$T=T_{1}+T_{2}$ ： $\forall \boldsymbol{x}\in X$ ，都有 $T(\boldsymbol{x})=T_{1}(\boldsymbol{x})+T_{2}(\boldsymbol{x})$
$T=\lambda T_{1}$ ： $\forall \boldsymbol{x}\in X$ ，都有 $T(\boldsymbol{x})=\lambda[T_{1}(\boldsymbol{x})]$

若 $T_{1},T_{2}$ 都是从 $X$ 到 $Y$ 的映射，则 $T_{1}+T_{2}$ 与 $\lambda T_{1}$ 也是从 $X$ 到 $Y$ 的映射
线性变换的线性运算的结果仍然是线性变换
$L(X,Y)$ ：从 $X$ 到 $Y$ 的全体线性变换的集合，构成数域 $\mathbb{F}$ 上的一个线性空间

线性变换的积

设 $T:X\to Y,S:Y\to Z$ 若 $\forall \boldsymbol{x}\in X$ ，都有 $G(\boldsymbol{x})=S(T(\boldsymbol{x}))$ ，则称 $G=ST$

$ST=TS$ 一般不成立

线性变换的逆

设 $T,S:X\to X$ 若 $TS=ST=E$ ，则称 $T$ 可逆，且 $T^{-1}=S$

线性变换的 $k$ 次方和多项式

设 $T:X\to X$ ，定义：

$T^0=E,T^k=T(T^{k-1}),k\in \mathbb{Z}^+$
若 $T$ 可逆则 $T^{-k}=(T^{-1})^k$
$g(T)=a_{0}E+a_{1}T+a_{2}T^2+\dots+a_{m}T^m$

线性变换的矩阵表示

定义

设 $\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r}}$ 是线性空间 $V$ 的一组基， $T$ 是 $V$ 上的线性变换，若 $T(\boldsymbol{\alpha_{1}}),T(\boldsymbol{\alpha_{2}}),\dots,T(\boldsymbol{\alpha_{r}})=(\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}})\boldsymbol{P}$ ，则称 $\boldsymbol{P}$ 为线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 下的矩阵（ $T$ 的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的第 $j$ 列是 $T(\boldsymbol{\alpha_{j}})$ 在基 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 下的坐标）

若线性变换 $T$ 在 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 下的矩阵是 $\boldsymbol{A}$ ，向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 下的坐标向量为 $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^T$ ， $T(\boldsymbol{\alpha})$ 在基 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 喜爱的坐标向量为 $\boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})^T$ ，则 $\boldsymbol{y=Ax}$

同一线性变换在不同基下的矩阵的关系

设 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 与 $\boldsymbol{\beta_{1}},\boldsymbol{\beta_{2}},\dots,\boldsymbol{\beta_{n}}$ 是线性空间的两组基， $\boldsymbol{P}$ 为由基 $\boldsymbol{\alpha_{1}},\boldsymbol{\alpha_{2}},\dots,\boldsymbol{\alpha_{n}}$ 到基 $\boldsymbol{\beta_{1}},\boldsymbol{\beta_{2}},\dots,\boldsymbol{\beta_{n}}$ 的过渡矩阵， $T$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $T$ 在这两组基下的矩阵分别为 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{B=P^{-1}AP}$